Seja an=2 n4 n+1
(a) Determine se an é convergente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos a sequência e queremos determinar se essa sequência é convergente. Isso está relacionado ao conteúdo de limites de sequências, que nos ajuda a saber se uma sequência de números se aproxima de um certo valor à medida que cresce.

Passo 2

Para saber se a sequência converge, precisamos calcular o limite dela quando tende ao infinito. Ou seja, vamos calcular . Se esse limite existir e for um número real, então a sequência é convergente.

Passo 3

Para calcular esse limite, podemos simplificar a expressão dividindo tanto o numerador quanto o denominador por limn to infty 2n4n + 1 = limn to infty 24 + 1n , que é o termo de maior grau no denominador:

Passo 4

Agora, observamos que quando limn to infty 24 + 1n = 24 + 0 = 24 = 12 tende ao infinito, tende a zero. Então temos:

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

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