Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty(pi3)^n

Passo 1

A série dada é sumn=1^inftyl(tfracpi3r)^n. Esse tipo de soma infinita lembra uma série geométrica, então vamos usar os conceitos de séries geométricas para decidir convergência.

Passo 2

Em uma série geométrica infinita padrão temos termo geral a,r^n-1 ou a,r^n. Aqui podemos ver que o primeiro termo é a=(tfracpi3)^1=tfracpi3 e a razão é r=tfracpi3.

Passo 3

A teoria diz que uma série geométrica infinita converge apenas se lvert rrvert<1. Nesse caso, sua soma seria a/(1-r). Se lvert rrvert>=1, a série diverge.

Passo 4

Como r=tfracpi3approx1,047>1, temos lvert rrvert>1. Logo a série não satisfaz o critério de convergência e diverge.

Resposta

A série diverge.

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