Use o método de variação dos parâmetros para encontrar a solução do PVI:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando o método de variação dos parâmetros. A equação que temos é $ y’’ + y’ - 2y = 2t $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $. Para isso, precisamos conhecer a teoria das equações diferenciais lineares e saber como aplicar o método de variação dos parâmetros para encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é $ y’’ + y’ - 2y = 0 $. Para isso, resolvemos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática, encontramos os valores de $ r $.
Passo 3
Resolvendo a equação característica $ r^2 + r - 2 = 0 $, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -2 $. Calculando:
Então, temos duas raízes reais:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Agora, aplicamos o método de variação dos parâmetros para encontrar a solução particular $ y_p(t) $ da equação não homogênea $ y’’ + y’ - 2y = 2t $.
A solução geral será:
Passo 6
Para variação dos parâmetros, assumimos que $ C_1 $ e $ C_2 $ são funções de $ t $. Assim, escrevemos:
Precisamos encontrar $ u_1(t) $ e $ u_2(t) $.
Passo 7
Calculamos as derivadas de $ y_p(t) $:
Mas para simplificar, usamos as condições $ u_1’(t) e^{t} + u_2’(t) e^{-2t} = 0 $ e $ u_1’(t) e^{t} - 2u_2’(t) e^{-2t} = 2t $.
Passo 8
Montamos o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema para $ u_1’(t) $ e $ u_2’(t) $.
Passo 9
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Integrando $ u_2’(t) $:
Ignoramos a constante de integração pois já está incluída na solução homogênea.
Passo 10
Usando a primeira equação do sistema para encontrar $ u_1’(t) $:
Integrando $ u_1’(t) $:
Ignoramos a constante de integração pois já está incluída na solução homogênea.
Passo 11
Agora, substituímos $ u_1(t) $ e $ u_2(t) $ na expressão de $ y_p(t) $:
Passo 12
Portanto, a solução geral da equação é:
Passo 13
Aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Para $ t = 0 $:
Para $ y’(0) = 1 $, calculamos a derivada de $ y(t) $ e substituímos $ t = 0 $:
Substituindo $ t = 0 $:
Passo 14
Agora temos o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo $ C_2 $ na primeira equação:
Resposta
A solução do PVI é: