Use o método de variação dos parâmetros para encontrar a solução do PVI:
y^prime prime+y^prime-2 y=2 t, y(0)=0, y^prime(0)=1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando o método de variação dos parâmetros. A equação que temos é $ y’’ + y’ - 2y = 2t $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $. Para isso, precisamos conhecer a teoria das equações diferenciais lineares e saber como aplicar o método de variação dos parâmetros para encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é $ y’’ + y’ - 2y = 0 $. Para isso, resolvemos a equação característica:
y'' + y' - 2y = 0
Resolvendo a equação quadrática, encontramos os valores de $ r $.

Passo 3

Resolvendo a equação característica $ r^2 + r - 2 = 0 $, usamos a fórmula de Bhaskara:
r^2 + r - 2 = 0
Onde $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -2 $. Calculando:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
a = 1
Então, temos duas raízes reais:
b = 1

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t
yh(t) = C1 e^t + C2 e^-2t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Agora, aplicamos o método de variação dos parâmetros para encontrar a solução particular $ y_p(t) $ da equação não homogênea $ y’’ + y’ - 2y = 2t $.
A solução geral será:
yp(t)

Passo 6

Para variação dos parâmetros, assumimos que $ C_1 $ e $ C_2 $ são funções de $ t $. Assim, escrevemos:
C1
Precisamos encontrar $ u_1(t) $ e $ u_2(t) $.

Passo 7

Calculamos as derivadas de $ y_p(t) $:
yp(t)
yp'(t) = u1'(t) e^t + u1(t) e^t + u2'(t) e^-2t - 2u2(t) e^-2t
Mas para simplificar, usamos as condições $ u_1’(t) e^{t} + u_2’(t) e^{-2t} = 0 $ e $ u_1’(t) e^{t} - 2u_2’(t) e^{-2t} = 2t $.

Passo 8

Montamos o sistema de equações:
u1'(t) e^t + u2'(t) e^-2t = 0 u1'(t) e^t - 2u2'(t) e^-2t = 2t
Resolvendo esse sistema para $ u_1’(t) $ e $ u_2’(t) $.

Passo 9

Subtraindo a primeira equação da segunda:
(u1'(t) e^t - 2u2'(t) e^-2t) - (u1'(t) e^t + u2'(t) e^-2t) = 2t - 0
-3u2'(t) e^-2t = 2t
u2'(t) = -2t3 e^2t
Integrando $ u_2’(t) $:
u2'(t)
u2(t) = -23 integral t e^2t dt
u2(t) = -23 ( t e^2t2 - e^2t4 ) + C
Ignoramos a constante de integração pois já está incluída na solução homogênea.

Passo 10

Usando a primeira equação do sistema para encontrar $ u_1’(t) $:
u1'(t)
u1'(t) e^t + ( -2t3 e^2t ) e^-2t = 0
u1'(t) e^t - 2t3 = 0
Integrando $ u_1’(t) $:
u1'(t) = 2t3 e^-t
u1'(t)
u1(t) = 23 integral t e^-t dt
Ignoramos a constante de integração pois já está incluída na solução homogênea.

Passo 11

Agora, substituímos $ u_1(t) $ e $ u_2(t) $ na expressão de $ y_p(t) $:
u1(t)
u2(t)

Passo 12

Portanto, a solução geral da equação é:
y(t) = yh(t) + yp(t)
y(t) = C1 e^t + C2 e^-2t - 2t3 - 23 + ( -t3 + 16 ) e^-t

Passo 13

Aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Para $ t = 0 $:
C1
C2
t = 0
Para $ y’(0) = 1 $, calculamos a derivada de $ y(t) $ e substituímos $ t = 0 $:
y(0) = C1 + C2 - 23 + 16 = 0
Substituindo $ t = 0 $:
C1 + C2 - 12 = 0
C1 + C2 = 12
y'(0) = 1

Passo 14

Agora temos o sistema:
C1 + C2 = 12 C1 - 2 C2 = 32
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(C1 - 2 C2) - (C1 + C2) = 32 - 12
-3 C2 = 1
C2 = -13
Substituindo $ C_2 $ na primeira equação:
C2
C1 - 13 = 12
C1 = 12 + 13

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = 56 e^t - 13 e^-2t - 2t3 - 23 + ( -t3 + 16 ) e^-t

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