Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial. Indique a solução particular da equação não homogênea:
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: $ y’’ + 2y’ = 3 + 4 \sin 2t $. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea: $ y’’ + 2y’ = 0 $. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma $ y = e^{rt} $.
Passo 3
Derivando $ y = e^{rt} $, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Fatorando $ e^{rt} $ (que nunca é zero):
Passo 4
Resolvendo a equação característica $ r^2 + 2r = 0 $:
Então, as raízes são $ r = 0 $ e $ r = -2 $.
Passo 5
Com as raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea: $ y’’ + 2y’ = 3 + 4 \sin 2t $. A parte não homogênea é $ 3 + 4 \sin 2t $, que tem termos constantes e senoidais. Vamos supor uma solução particular da forma:
Onde $ A, B, C $ são constantes a serem determinadas.
Passo 7
Calculando as derivadas de $ y_p(t) $:
Passo 8
Substituindo $ y_p(t) $, $ y_p’(t) $ e $ y_p’’(t) $ na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 9
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Passo 10
Resolvendo o sistema:
- Da segunda equação: $ 4B - 4C = 0 \Rightarrow B = C $
- Substituindo na primeira equação: $ -4B - 4B = 4 \Rightarrow -8B = 4 \Rightarrow B = -\frac{1}{2} $
- Como $ B = C $, então $ C = -\frac{1}{2} $
- Sabemos que $ A = 3 $
Passo 11
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.