Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial. Indique a solução particular da equação não homogênea:
y^prime prime+2 y^prime=3+4 sin 2 t,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: $ y’’ + 2y’ = 3 + 4 \sin 2t $. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea: $ y’’ + 2y’ = 0 $. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma $ y = e^{rt} $.

Passo 3

Derivando $ y = e^{rt} $, temos:
y = e^rt
y' = r e^rt
Substituindo na equação homogênea:
y'' = r^2 e^rt
Fatorando $ e^{rt} $ (que nunca é zero):
r^2 e^rt + 2r e^rt = 0

Passo 4

Resolvendo a equação característica $ r^2 + 2r = 0 $:
r^2 + 2r = 0
Então, as raízes são $ r = 0 $ e $ r = -2 $.

Passo 5

Com as raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^0 cdot t + C2 e^-2t = C1 + C2 e^-2t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea: $ y’’ + 2y’ = 3 + 4 \sin 2t $. A parte não homogênea é $ 3 + 4 \sin 2t $, que tem termos constantes e senoidais. Vamos supor uma solução particular da forma:
y'' + 2y' = 3 + 4 sin 2t
Onde $ A, B, C $ são constantes a serem determinadas.

Passo 7

Calculando as derivadas de $ y_p(t) $:
yp(t)
yp'(t) = 2B cos 2t - 2C sin 2t

Passo 8

Substituindo $ y_p(t) $, $ y_p’(t) $ e $ y_p’’(t) $ na equação original:
yp(t)
Simplificando:
yp'(t)
Agrupando termos semelhantes:
yp''(t)

Passo 9

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
-4B - 4C = 4 (coeficiente de sin 2t)
4B - 4C = 0 (coeficiente de cos 2t)
A = 31 = 3 (termo constante)

Passo 10

Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação: $ 4B - 4C = 0 \Rightarrow B = C $
  2. Substituindo na primeira equação: $ -4B - 4B = 4 \Rightarrow -8B = 4 \Rightarrow B = -\frac{1}{2} $
  3. Como $ B = C $, então $ C = -\frac{1}{2} $
  4. Sabemos que $ A = 3 $

Passo 11

Então, a solução particular é:
yp(t) = 3 - 12 sin 2t - 12 cos 2t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 + C2 e^-2t + 3 - 12 sin 2t - 12 cos 2t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados