A função densidade conjunta para um par de variáveis aleatórias X e Y é
f(x, y)= C x(1+y) & se 0 <= x <= 1,0 <= y <= 2 0 & caso contrário á
Encontre P(X <= 1, Y >= 1).

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta f(x,y)=C,x(1+y) para 0<= x<=1 e 0<= y<=2 e pede P(X<=1,,Y>=1). Vamos precisar achar a constante de normalização C e depois calcular a integral dupla de f(x,y) na região 0<= x<=1,,1<= y<=2.

Passo 2

Para determinar C, usamos que a integral de f(x,y) sobre todo o suporte deve dar 1:
1=integralx=0^1integraly=0^2 C,x(1+y),dy,dx
Como a integral se separa:
integral0^1 x,dx=tfrac12, integral0^2(1+y),dy=l[y+tfracy^22r]0^2=2+2=4

Passo 3

Então
1=Ccdottfrac12cdot4=2Cimplies C=tfrac12

Passo 4

Agora calculamos
P(X<=1,,Y>=1)=integralx=0^1integraly=1^2 f(x,y),dy,dx=integral0^1integral1^2 tfrac12,x(1+y),dy,dx

Passo 5

Primeiro a integral interna em y:
integral1^2(1+y),dy=l[y+tfracy^22r]1^2=(2+2)-(1+tfrac12)=2.5
Multiplicando por tfrac12x 1.25x. Agora integramos em x:
integral0^1 1.25x,dx=1.25cdottfracx^22|0^1=1.25cdottfrac12=0.625

Resposta

P(X<=1,,Y>=1)=0.625=tfrac58.

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