Observe como fazemos para completar os quadrados das funções p(x)=x^2+2 x+10 e q(x)= x^2-x.
& p(x)=x^2+2 x+10 & p(x)=x^2+2 x+1-1+10 & p(x)=(x+1)^2+9
& p(x)=x^2-x & p(x)=x^2-2(12) x+(12)^2-(12)^2 & p(x)=x^2-x+14-14 & p(x)=(x-12)^2-14
Utilize essa ideia para completar os quadrados das funções:
p(x)=x^2+3 x+1

Passo 1

A questão pede para escrever a função quadrática p(x)=x^2+3x+1 no formato “completando o quadrado”, ou seja, transformar em a(x-h)^2+k. O conteúdo é completar o quadrado de uma parábola e vamos precisar usar a ideia de adicionar e subtrair o quadrado da metade do coeficiente de x.

Passo 2

Primeiro, identifique o coeficiente de x, que é 3. A metade dele é tfrac32 e o quadrado dessa metade é l(tfrac32r)^2=tfrac94.
Agora, dentro da expressão original, adicionamos e subtraímos tfrac94:
x^2+3x+1 = x^2+3x+tfrac94 - tfrac94 +1

Passo 3

Em seguida, reconhecemos o trinômio quadrado perfeito x^2+3x+tfrac94 como (x+tfrac32)^2 e juntamos os termos constantes restantes:
x^2+3x+1 = (x+tfrac32)^2 - tfrac94 +1

Passo 4

Por fim, simplificamos o ajuste dos constantes: -tfrac94+1 = -tfrac94 + tfrac44 = -tfrac54. Portanto, a forma completada é obtida.

Resposta

p(x)=l(x+tfrac32r)^2 - tfrac54

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