(a) Mostre que, se
depende apenas do produto
, ou seja,
então, a equação
tem um fator integrante na forma
. Dê a fórmula geral para
.
(b) Use a sua resposta do item (a) para encontrar uma solução implícita para
(b) Use a sua resposta do item (a) para encontrar uma solução implícita para
Passo 1
O exercício trata de equações diferenciais exatas e fator integrante. Na parte (a) queremos mostrar que, se
então existe um fator integrante do tipo
, e obter sua fórmula geral. Na parte (b) vamos aplicar esse resultado à equação
Passo 2
Para derivar a fórmula geral, definimos
e assumimos
. A condição de exatidão exige
Usando a regra da cadeia,
onde
e
. Logo,
Dividindo por
obtemos
onde
. Integrando,
Passo 3
Agora, para
e
calculamos
Logo
Passo 4
Dessa forma,
e
Multiplicando a equação original por
, obtemos
que é exata, pois as derivadas cruzadas coincidem (=2).
Passo 5
Para encontrar a solução, integramos a parte em
:
Derivando em relação a
e igualando a
(já multiplicado):
Logo
que é a solução implícita da equação.