(a) Mostre que, se (partial N / partial x-partial M / partial y) /(x M-y N) depende apenas do produto x y, ou seja,
partial N / partial x-partial M / partial yx M-y N=H(x y),
então, a equação M(x, y) d x+N(x, y) d y=0 tem um fator integrante na forma mu(x y). Dê a fórmula geral para mu(x y).
(b) Use a sua resposta do item (a) para encontrar uma solução implícita para
(3 y+2 x y^2) d x+(x+2 x^2 y) d y=0

Passo 1

O exercício trata de equações diferenciais exatas e fator integrante. Na parte (a) queremos mostrar que, se
H(xy)=partial N/partial x - partial M/partial yxM - yN
então existe um fator integrante do tipo mu(xy), e obter sua fórmula geral. Na parte (b) vamos aplicar esse resultado à equação
(3y + 2xy^2),dx + (x + 2x^2y),dy = 0

Passo 2

Para derivar a fórmula geral, definimos t = xy e assumimos mu = mu(t). A condição de exatidão exige
partialpartial y[mu M]=partialpartial x[mu N]
Usando a regra da cadeia,
mu'(t),partial tpartial y M + mu,My = mu'(t),partial tpartial x N + mu,Nx,
onde partial t/partial y = x e partial t/partial x = y. Logo,
mu'(t),(xM - yN) = mu(t),(Nx - My)
Dividindo por mu(xM - yN) obtemos
mu'(t)mu(t) = H(t),
onde H(t)=(Nx - My)/(xM - yN). Integrando,
lnmu(t) = integral H(t),dt + C Longrightarrow mu(t) = expl(integral H(t),dtr)

Passo 3

Agora, para M=3y+2xy^2 e N=x+2x^2y calculamos
My = 3 + 4xy,
Nx = 1 + 4xy,
xM - yN = x(3y+2xy^2) - y(x+2x^2y) = 2xy
Logo
H(xy)=Nx - MyxM-yN = (1+4xy)-(3+4xy)2xy = -22xy = -1xy

Passo 4

Dessa forma, H(t)=-1/t e
mu(t) = expl(integral -1t,dtr) = exp(-ln t) = 1t = 1xy
Multiplicando a equação original por 1/(xy), obtemos
l(3y+2xy^2xyr)dx + l(x+2x^2yxyr)dy = l(3x + 2yr)dx + l(1y + 2xr)dy = 0,
que é exata, pois as derivadas cruzadas coincidem (=2).

Passo 5

Para encontrar a solução, integramos a parte em dx:
F(x,y)=integrall(3x+2yr)dx = 3ln|x| + 2xy + phi(y)
Derivando em relação a y e igualando a N (já multiplicado):
Fy = 2x + phi'(y) = 1y + 2x Longrightarrow phi'(y)=1y ;Rightarrow; phi(y)=ln|y|
Logo
F(x,y)=2xy + 3ln|x| + ln|y| = C,
que é a solução implícita da equação.

Resposta

2xy + 3ln|x| + ln|y| = C

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