Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 1raizn+raizn+1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty1raizn+raizn+1
O conteúdo aqui é reconhecer uma série telescópica, ou seja, reescrever o termo geral de modo que, ao somar, muitos termos se cancelem.

Passo 2

Racionalizamos o denominador de 1raizn+raizn+1. Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada raizn+1-raizn:
1raizn+raizn+1 =raizn+1-raizn(raizn+raizn+1)(raizn+1-raizn) =raizn+1-raizn

Passo 3

Agora o n-ésimo termo vale
an=raizn+1-raizn,
e a soma parcial até N é
SN=sumn=1^Nan =sumn=1^Nl(raizn+1-raiznr)

Passo 4

Notamos que a soma telescópica cancela quase tudo:
SN=(raiz2-raiz1)+(raiz3-raiz2)+cdots+(raizN+1-raizN) =raizN+1-raiz1 =raizN+1-1

Passo 5

Para ver se a série converge, analisamos o limite de SN quando Ntoinfty:
limNtoinftySN =limNtoinfty(raizN+1-1) =+infty
Como a soma parcial diverge para infinito, a série também diverge.

Resposta

A série diverge (não possui soma finita).

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