Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
2 x^2 cos x

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de 2x^2cos x. O conteúdo aqui é transformada de Laplace e, em especial, a propriedade de diferenciação no domínio de s:
Lt^n f(t) = (-1)^n d^nds^nF(s),
onde F(s)=Lf(t).

Passo 2

Primeiro, achamos a transformada de Laplace de cos t (vamos usar t no lugar de x por convenção):
Lcos t = ss^2+1
Denotamos F(s)=dfracss^2+1.

Passo 3

Pela propriedade acima, para n=2 temos
Lt^2cos t = (-1)^2 d^2ds^2F(s) = d^2ds^2F(s)

Passo 4

Calculamos as derivadas de F(s):
F'(s) = (s^2+1)cdot1 - scdot2s(s^2+1)^2 = 1 - s^2(s^2+1)^2,
F''(s) = dds!l(1 - s^2(s^2+1)^2r) = 2s,(s^2 - 3)(s^2+1)^3

Passo 5

Como queremos L2t^2cos t, basta multiplicar por 2:
L2t^2cos t = 2,F''(s) = 4s,(s^2 - 3)(s^2+1)^3

Resposta

L2x^2cos x = 4s,(s^2 - 3)(s^2+1)^3

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