Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 1(n+1)(n+2)

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty 1(n+1)(n+2),
pede para decidir se converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. O conteúdo é séries numéricas e o método será decomposição em frações parciais seguida de soma telescópica.

Passo 2

Começamos fazendo a decomposição em frações parciais: queremos
Multiplicando ambos os lados por obtemos
Igualando coeficientes em e termo independente dá
cuja solução é . Logo

Passo 3

Definimos a soma parcial até N:
SN = sumn=1^Ngl(1n+1 - 1n+2gr)
Escrevendo os primeiros termos vemos o telescópico:
SN = l(tfrac12-tfrac13r) +l(tfrac13-tfrac14r) +cdots +l(tfrac1N+1-tfrac1N+2r)
Quase tudo cancela, sobrando
SN = 12 - 1N+2

Passo 4

Para saber a convergência, tomamos o limite quando Ntoinfty:
limNtoinfty SN = limNtoinftyl(tfrac12-tfrac1N+2r) = 12 - 0 = 12
Como o limite existe e é finito, a série converge.

Resposta

A série converge e
sumn=1^infty 1(n+1)(n+2) = 12

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