Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
pede para decidir se converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. O conteúdo é séries numéricas e o método será decomposição em frações parciais seguida de soma telescópica.
Passo 2
Começamos fazendo a decomposição em frações parciais: queremos
Multiplicando ambos os lados por obtemos
Igualando coeficientes em e termo independente dá
cuja solução é . Logo
Passo 3
Definimos a soma parcial até N:
SN = sumn=1^Ngl(1n+1 - 1n+2gr)
Escrevendo os primeiros termos vemos o telescópico:
SN = l(tfrac12-tfrac13r) +l(tfrac13-tfrac14r) +cdots +l(tfrac1N+1-tfrac1N+2r)
Quase tudo cancela, sobrando
SN = 12 - 1N+2
Passo 4
Para saber a convergência, tomamos o limite quando Ntoinfty:
limNtoinfty SN = limNtoinftyl(tfrac12-tfrac1N+2r) = 12 - 0 = 12
Como o limite existe e é finito, a série converge.