Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
2 x^2 e^-x cos x

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(x)=2,x^2e^-xcos x
O conteúdo principal é a propriedade de deslocamento no domínio da transformada (fator e^-ax) e a propriedade de diferenciação em s para obter fatores x^n.

Passo 2

Antes de tratar o fator 2, usemos a linearidade:
L2,x^2e^-xcos x(s) =2,Lx^2e^-xcos x(s)
Em seguida aplicamos o teorema do deslocamento:
Lx^2e^-xcos x(s) =Lx^2cos x(s+1)

Passo 3

Agora vamos calcular Lx^2cos x(s) usando a fórmula
Lt^nf(t)(s) =(-1)^nd^nds^nl[Lf(t)(s)r]
Aqui n=2 e f(t)=cos t, cuja transformada é
Lcos t(s)=ss^2+1

Passo 4

Defina
F(s)=ss^2+1
Primeira derivada:
F'(s) =(s^2+1)cdot1 - scdot2s(s^2+1)^2 =1 - s^2(s^2+1)^2
Segunda derivada:
F''(s) =ddsl(1 - s^2(s^2+1)^2r) =2s(s^2-3)(s^2+1)^3
Portanto
Lx^2cos x(s)=F''(s) =2s,(s^2-3)(s^2+1)^3

Passo 5

Voltando ao deslocamento, obtemos
Lx^2e^-xcos x(s) =2,(s+1)l((s+1)^2-3r)l((s+1)^2+1r)^3
Multiplicando pela constante 2 inicial, a transformada desejada é
L2,x^2e^-xcos x(s) =2cdot2,(s+1)l((s+1)^2-3r)l((s+1)^2+1r)^3 =4,(s+1)l((s+1)^2-3r)l((s+1)^2+1r)^3

Resposta

boxed L2,x^2e^-xcos x(s) =4,(s+1)l((s+1)^2-3r)l((s+1)^2+1r)^3

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