Considere PVI, abaixo, e responda, justificando com cálculos, as questões:
P V I=l (y^6+6 x^6+x y^5) d yd x=6 x^5 y+y^6 y(0)=1
  • Qual a solução geral dessa EDO ?
  • A solução constante y=0 é solução dessa EDO ?
  • O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade?
  • Existe solução única? Qual é?

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI
(y^6 +6x^6 + x,y^5)dydx = 6x^5y + y^6, y(0)=1
Trata-se de uma EDO de primeira ordem homogênea de grau 6. Vamos usar a substituição v=y/x para reduzir a um caso separável, depois integrar para obter a solução geral, verificar se yequiv0 é solução, checar as hipóteses do teorema de existência e unicidade em torno de (0,1) e, por fim, determinar a solução única que satisfaz y(0)=1.

Passo 2

Faça y=v x, então
dydx=v + xdvdx, y^6=(v x)^6=v^6x^6, y^5=(v x)^5=v^5x^5
A ODE torna-se
v + xdvdx =6x^5(vx)+(vx)^6(vx)^6 + x,(vx)^5 +6x^6 =6v+v^6v^6+v^5+6,
logo
xdvdx =6v+v^6v^6+v^5+6-v =-v^7v^6+v^5+6
Isto é separável:
integralv^6+v^5+6v^7,dv =-integraldxx

Passo 3

Calcule a integral em v:
integrall(v^-1+v^-2+6v^-7r),dv =ln|v|-v^-1-v^-6
Do outro lado vem -ln|x|+C. Portanto
ln|v|-v^-1-v^-6=-ln|x|+C
Voltando a y=v x (logo v=y/x e v x=y), obtemos a solução geral implícita
ln|y|-xy-x^6y^6=C

Passo 4

Verificar y(x)equiv0. Se y=0 então o fator y^6+6x^6+xy^5 vale 6x^6, e a equação original fica
6x^6cdot0 = 6x^5cdot0 +0,
ou seja 0=0 para todo x. Em x=0 também temos 0=0. Logo yequiv0 é de fato solução.

Passo 5

Para aplicar o teorema de existência e unicidade escrevemos
dydx=f(x,y) =6x^5y+y^6y^6+xy^5+6x^6
No ponto (0,1) o denominador é 1neq0, então f e partial f/partial y são contínuas numa vizinhança de (0,1). Assim as hipóteses do teorema estão satisfeitas.

Passo 6

Pelo teorema existe e é única a solução que passa por (0,1). Para encontrá-la, impomos y(0)=1 na solução geral:
ln1 - 01 - 0^61^6 = C Longrightarrow C=0
A solução particular única vem então implicitamente de
ln y - xy - x^6y^6 =0

Resposta

Qual a solução geral dessa EDO?
ln|y|-xy-x^6y^6=C
A solução constante y=0 é solução dessa EDO?
Sim.
O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade?
Sim, pois f(x,y) e partial f/partial y são contínuas perto de (0,1) e o denominador não se anula.
Existe solução única? Qual é?
Sim. A única solução que satisfaz y(0)=1 é dada implicitamente por
ln y - xy - x^6y^6 =0

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