Considere PVI, abaixo, e responda, justificando com cálculos, as questões:
- Qual a solução geral dessa EDO ?
- A solução constante
é solução dessa EDO ?
- O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade?
- Existe solução única? Qual é?
Passo 1
O enunciado apresenta o PVI
Trata-se de uma EDO de primeira ordem homogênea de grau 6. Vamos usar a substituição
para reduzir a um caso separável, depois integrar para obter a solução geral, verificar se
é solução, checar as hipóteses do teorema de existência e unicidade em torno de
e, por fim, determinar a solução única que satisfaz
.
Passo 2
Faça
, então
A ODE torna-se
logo
Isto é separável:
Passo 3
Calcule a integral em
:
Do outro lado vem
. Portanto
Voltando a
(logo
e
), obtemos a solução geral implícita
Passo 4
Verificar
. Se
então o fator
vale
, e a equação original fica
ou seja
para todo
. Em
também temos
. Logo
é de fato solução.
Passo 5
Para aplicar o teorema de existência e unicidade escrevemos
No ponto
o denominador é
, então
e
são contínuas numa vizinhança de
. Assim as hipóteses do teorema estão satisfeitas.
Passo 6
Pelo teorema existe e é única a solução que passa por
. Para encontrá-la, impomos
na solução geral:
A solução particular única vem então implicitamente de
Resposta
Qual a solução geral dessa EDO?
A solução constante
é solução dessa EDO?
Sim.
Sim.
O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade?
Sim, pois e
são contínuas perto de
e o denominador não se anula.
Sim, pois
Existe solução única? Qual é?
Sim. A única solução que satisfaz é dada implicitamente por
Sim. A única solução que satisfaz