Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, determine sua soma.
sumn=1^infty ln (1n)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty lnl(1nr)
O conteúdo que vamos usar é o teste da divergência, que afirma que, se o termo geral an de uma série não tende a zero, a série diverge.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral usando propriedades de logaritmo:
lnl(tfrac1nr) = -ln(n)
Logo a série fica
sumn=1^infty lnl(tfrac1nr) = sumn=1^infty l(-ln(n)r) = -sumn=1^infty ln(n)

Passo 3

Aplicamos o teste da divergência observando o limite do termo geral:
limntoinfty lnl(tfrac1nr) = limntoinfty l(-ln(n)r) = -infty,
Como esse limite não é zero (aliás vai a -infty), a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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