(1,0)Expressar y=tg(arcsin (x)) para 0<x<1, como uma expressão algébrica de x.

Passo 1

O enunciado pede para escrever
y = tanl(arcsin(x)r)
como uma expressão algébrica em x, no intervalo 0<x<1. Vamos usar a definição de arco-seno e a identidade pitagórica para funções trigonométricas.

Passo 2

Defina theta = arcsin(x).
Nesse caso temos sintheta = x e, como 0<x<1, então thetain(0,tfracpi2).

Passo 3

Usando a relação entre tangente, seno e cosseno, escrevemos
tantheta = sinthetacostheta

Passo 4

Para achar costheta, aplicamos a identidade sin^2theta + cos^2theta = 1. Assim,
costheta = raiz1 - sin^2theta = raiz1 - x^2,
onde escolhemos o sinal positivo porque theta está em (0,tfracpi2).

Passo 5

Agora substituímos em tantheta:
tanl(arcsin(x)r) = sinthetacostheta = xraiz1 - x^2

Resposta

y = xraiz1 - x^2

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