Use as técnicas abordadas em sala de aula para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
x d x+y e^-x d y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x,dx + y,e^-x,dy = 0
Usamos aqui o método de equações exatas e, se necessário, fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y) = x, N(x,y) = y,e^-x
Para ver se é exata, calculamos
partial Mpartial y = 0, partial Npartial x = -y,e^-x,
como não coincidem, não é exata. Procuramos um fator integrante mu(x) satisfazendo
partialpartial yl(mu Mr) = partialpartial xl(mu Nr)
Uma forma prática é checar
partial Mpartial y-partial Npartial xN = 0 - l(-y e^-xr)y e^-x =1,
que depende só de x. Logo mu(x)=e^integral 1,dx=e^x.

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x)=e^x obtemos
x e^x,dx + y,dy = 0
Agora M^*(x,y)=x e^x e N^*(x,y)=y. Verificamos
partial M^*partial y=0, partial N^*partial x=0,
então é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = M^*(x,y) = x e^x, partial phipartial y = N^*(x,y) = y
Integrando em x:
phi(x,y) = integral x e^x,dx + h(y) = l(x e^x - e^xr) + h(y) = e^x(x-1) + h(y)
Agora impomos partial phi/partial y = h'(y) = y, logo
h(y) = integral y,dy = y^22
Portanto
phi(x,y) = e^x(x-1) + y^22

Passo 5

A solução geral é dada pela condição de contorno implícita
phi(x,y) = C Longrightarrow e^x(x-1) + y^22 = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

e^x(x-1) + y^22 = C

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