(a) Encontre uma função
tal que
e (b) utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
é o arco da parábola
de
a
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede (a) uma função escalar
tal que
e (b) o valor da integral de linha
ao longo do arco da parábola
de
a
. O conteúdo envolvido é campo conservativo: achamos um potencial
e depois usamos independência de caminho para a integral.
Passo 2
Para verificar que
é conservativo no domínio
basta checar o rotacional
Como o domínio é simplesmente conexo e o rotacional é zero, existe potencial
.
Passo 3
Procuramos
satisfazendo
Integrando
em
vem
onde
é função só de
. Diferenciando em
e igualando a
dá
Logo, podemos tomar o potencial
desprezando a constante
.
Passo 4
Como
é conservativo, a integral de linha independe do caminho e vale
Calculando
segue
Resposta
(a)
(b)
(b)