(a) Encontre uma função f tal que F=nabla f e (b) utilize a parte (a) para calcular integralC F cdot d r ao longo da curva dada C.
F(x, y)=x i+y j,
C é o arco da parábola y=x^2 de (-1,1) a (3,9)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial F(x,y)=x,i+y,j e pede (a) uma função escalar f(x,y) tal que nabla f=F e (b) o valor da integral de linha integralCFcdot dr ao longo do arco da parábola y=x^2 de (-1,1) a (3,9). O conteúdo envolvido é campo conservativo: achamos um potencial f e depois usamos independência de caminho para a integral.

Passo 2

Para verificar que F é conservativo no domínio R^2 basta checar o rotacional
partialpartial x(F2)-partialpartial y(F1) =partialpartial x(y)-partialpartial y(x)=0-0=0
Como o domínio é simplesmente conexo e o rotacional é zero, existe potencial f.

Passo 3

Procuramos f satisfazendo
partial fpartial x=x, partial fpartial y=y
Integrando partial fpartial x=x em x vem
f(x,y)=integral x,dx=tfrac12x^2+g(y),
onde g é função só de y. Diferenciando em y e igualando a y
partial fpartial y=g'(y)=y Longrightarrow g(y)=tfrac12y^2+C
Logo, podemos tomar o potencial
f(x,y)=tfrac12l(x^2+y^2r),
desprezando a constante C.

Passo 4

Como F é conservativo, a integral de linha independe do caminho e vale
integralCFcdot dr =fl(3,9r)-fl(-1,1r)
Calculando
f(3,9)=tfrac12(3^2+9^2)=tfrac12(9+81)=45, f(-1,1)=tfrac12l((-1)^2+1^2r)=tfrac12(1+1)=1,
segue
integralCFcdot dr=45-1=44

Resposta

(a) f(x,y)=tfrac12l(x^2+y^2r)
(b) integralCFcdot dr=44

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