Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, determine sua soma.
sumn=1^infty(-1)^n+1 32^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty(-1)^n+132^n
é convergente ou divergente e, em caso de convergência, encontrar sua soma. Isso envolve reconhecimento de que se trata de uma série geométrica alternante e aplicação da condição de convergência lvert qrvert<1 e da fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral no formato de uma série geométrica. Note que
(-1)^n+132^n ;=; 32,gl(-12gr)^,n-1
Aqui o primeiro termo (para n=1) é
a = 32,
e a razão é
q = -tfrac12

Passo 3

Uma série geométrica sumn=1^infty a,q^,n-1 converge se, e somente se, lvert qrvert<1. No nosso caso lvert qrvert = llvert -tfrac12rrvert = tfrac12<1, logo a série converge.

Passo 4

Para uma série geométrica convergente, a soma é
S = a1-q
Substituindo a=tfrac32 e q=-tfrac12, temos
S = tfrac321 - l(-tfrac12r) = tfrac321 + tfrac12 = tfrac32tfrac32 = 1

Resposta

A série é convergente e sua soma é 1.

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