(a) Encontre uma função
tal que
e (b) utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
é o arco da curva
de
a
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede (a) achar uma função potencial tal que
e (b) usar isso para calcular
,
onde é o arco da curva
de
a
.
O conteúdo principal é reconhecer que é um campo conservativo e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos.
e pede (a) achar uma função potencial
onde
O conteúdo principal é reconhecer que
Passo 2
Para verificar que
é conservativo, escrevemos
e conferimos se
De fato,
e
,
logo é conservativo e existe
tal que
.
logo
Passo 3
Procuramos
satisfazendo
Integrando em relação a
, obtemos
onde
é função a determinar. Diferenciando agora em relação a
,
deve ser igual a
. Assim
e
é constante.
Passo 4
Podemos então escolher a constante zero, ficando
Verificamos que
, conforme desejado.
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos,
Calculando,
logo
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)