(a) Encontre uma função f tal que F=nabla f e (b) utilize a parte (a) para calcular integralC F cdot d r ao longo da curva dada C.
F(x, y)=y i+x j,
C é o arco da curva y=x^4-x^3 de (1,0) a (2,8)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y)=y,i+x,j
e pede (a) achar uma função potencial f tal que nabla f=F e (b) usar isso para calcular
integralCFcdot dr,
onde C é o arco da curva y=x^4-x^3 de (1,0) a (2,8).
O conteúdo principal é reconhecer que F é um campo conservativo e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos.

Passo 2

Para verificar que F é conservativo, escrevemos
P(x,y)=y, Q(x,y)=x
e conferimos se
partial Ppartial y ;=; partial Qpartial x
De fato,
partial P/partial y=1 e partial Q/partial x=1,
logo F é conservativo e existe f tal que nabla f=(P,Q).

Passo 3

Procuramos f satisfazendo
partial fpartial x=P(x,y)=y
Integrando em relação a x, obtemos
f(x,y)=x,y+h(y),
onde h é função a determinar. Diferenciando agora em relação a y,
partial fpartial y =x + h'(y)
deve ser igual a Q(x,y)=x. Assim
x + h'(y)=x Longrightarrow h'(y)=0
e h é constante.

Passo 4

Podemos então escolher a constante zero, ficando
f(x,y)=x,y
Verificamos que nabla f=(y,x)=F, conforme desejado.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos,
integralCFcdot dr =fl(2,8r)-fl(1,0r)
Calculando,
f(2,8)=2cdot8=16, f(1,0)=1cdot0=0,
logo
integralCFcdot dr=16-0=16

Resposta

(a) f(x,y)=x,y.
(b) integralCFcdot dr=16.

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