Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, determine sua soma.
sumn=1^infty e^-n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumn=1^infty e^-n
Verificaremos convergência e, se convergente, calcularemos sua soma. O conteúdo é séries geométricas infinitas.

Passo 2

Observamos que cada termo da série é da forma e^-n=(e^-1)^n. Logo trata-se de uma série geométrica de primeiro termo
a = e^-1
e razão
r = e^-1

Passo 3

Uma série geométrica sumn=1^inftya,r^,n-1 converge se e somente se lvert rrvert<1. No nosso caso temos
lvert rrvert = e^-1 < 1,
portanto a série é convergente.

Passo 4

Para uma série geométrica começando em n=1 com termo geral ar^n-1, a soma é
S = a1-r
Aqui, como escrevemos e^-n=(e^-1)^n=a,r^n-1 com a=e^-1 e r=e^-1, obtemos
S = e^-11 - e^-1 = 1e-1

Resposta

A série é convergente e
sumn=1^infty e^-n = 1e-1

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