Use as técnicas abordadas em sala de aula para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
d yd x=sec ^2(x) tg(x)3 y^2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
dydx = sec^2(x),tan(x)3,y^2
Usaremos o método de separação de variáveis: vamos rearranjar de modo a ter todos os y de um lado e todos os x do outro, e então integrar.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por 3,y^2,dx para separar as variáveis:
3,y^2,dy = sec^2(x),tan(x),dx

Passo 3

Agora integramos cada lado:
integral 3,y^2,dy = integral sec^2(x),tan(x),dx

Passo 4

Calcular cada primitiva:
- No lado esquerdo,
integral 3,y^2,dy = y^3 + C1
- No lado direito, fazemos a substituição u = tan(x), logo du = sec^2(x),dx. Assim
integral sec^2(x),tan(x),dx = integral u,du = u^22 + C2 = tan^2(x)2 + C2

Passo 5

Igualando as duas antiderivadas e juntando as constantes ( C = C2 - C1), obtemos
y^3 = tan^2(x)2 + C

Passo 6

Por fim, isolamos y:
y(x) = l(tan^2(x)2 + Cr)^!tfrac13

Resposta

y(x) = l(tfractan^2(x)2 + Cr)^1/3,
com C constante arbitrária de integração.

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