Use as técnicas abordadas em sala de aula para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
d xd t=x tt^2+1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
dxdt = x,tt^2 + 1
Trata-se de uma equação de primeira ordem e separável. Vamos aplicar o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral.

Passo 2

Separe as variáveis x e t:
1x,dx = tt^2 + 1,dt
Agora integre ambos os lados. No lado esquerdo,
integral 1x,dx = ln|x|
No lado direito, use a substituição u = t^2 + 1, de onde du = 2t,dt. Assim,
integral tt^2+1,dt = 12integral 1u,du = 12ln|u| = 12lnl(t^2+1r)

Passo 3

Igualando as primitivas, obtemos
ln|x| = 12lnl(t^2+1r) + C,
onde C é a constante de integração. Exponenciando dos dois lados,
|x| = e^C,(t^2+1)^1/2
Definindo K = pm e^C, chegamos à forma conveniente da solução:
x(t) = Kraizt^2 + 1, KinR

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
x(t) = Kraizt^2 + 1, KinR

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