Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.
sumn=1^infty 2^-n 3^n-1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série infinita sumn=1^infty2^-n3^n-1, que é uma série geométrica disfarçada, e caso ela seja convergente, calcular sua soma.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral para expor a forma geométrica:
2^-n3^n-1=3^-1cdot3^ncdot2^-n=13(32)^n

Passo 3

Identificamos que a série se escreve como
sumn=1^infty2^-n3^n-1=13sumn=1^infty(32)^n
Aqui o primeiro termo é a1=tfrac13(tfrac32)^1=tfrac12 e a razão é r=tfrac32.

Passo 4

Para que uma série geométrica sum a1r^n-1 seja convergente, precisa valer |r|<1. Como aqui |r|=tfrac32>1, a série não satisfaz esse critério.

Passo 5

Logo, a série diverge, pois sua razão tfrac32 é maior que 1.

Resposta

A série é divergente.

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