Encontre, pela definição, a transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir, onde
e
são constantes reais:
;
Passo 1
Beleza, vamos ver qual é a missão aqui. A gente precisa encontrar, usando a definição, a transformada de Laplace da função
. Estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que são super úteis para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para isso, vamos precisar aplicar a definição da transformada de Laplace e calcular uma integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. Se a gente tem uma função
, a transformada de Laplace dessa função, que chamamos de
, é dada pela seguinte fórmula:
Aqui,
é uma constante que faz parte da transformada, e a gente integra de 0 até o infinito.
Passo 3
No nosso caso, a função que queremos transformar é
. Vamos substituir essa função na fórmula da transformada de Laplace:
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar a transformada.
Passo 4
Para resolver a integral
, vamos usar uma regra conhecida de integrais envolvendo potências de
e exponenciais. A integral geral é:
Onde
é o fatorial de
. No nosso caso,
, então vamos substituir na fórmula.
Passo 5
Substituindo
na fórmula, temos:
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace de
é: