Encontre, pela definição, a transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir, onde a e b são constantes reais:
t^2;

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é a missão aqui. A gente precisa encontrar, usando a definição, a transformada de Laplace da função . Estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que são super úteis para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para isso, vamos precisar aplicar a definição da transformada de Laplace e calcular uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. Se a gente tem uma função F(s) = integral0^infty e^-st f(t) , dt , a transformada de Laplace dessa função, que chamamos de , é dada pela seguinte fórmula:
Aqui, é uma constante que faz parte da transformada, e a gente integra de 0 até o infinito.

Passo 3

No nosso caso, a função que queremos transformar é L t^2 = integral0^infty e^-st t^2 , dt . Vamos substituir essa função na fórmula da transformada de Laplace:
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar a transformada.

Passo 4

Para resolver a integral integral0^infty t^n e^-st , dt = n!s^n+1 , vamos usar uma regra conhecida de integrais envolvendo potências de e exponenciais. A integral geral é:
Onde é o fatorial de . No nosso caso, , então vamos substituir na fórmula.

Passo 5

Substituindo integral0^infty t^2 e^-st , dt = 2!s^3 = 2s^3 na fórmula, temos:

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace de L t^2 = 2s^3 é:

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