Encontre, pela definição, a transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir, onde a e b são constantes reais:
sen b t

Passo 1

Resumo: a gente precisa encontrar a transformada de Laplace de sin(bt) usando a definição Lf(t)=integral0^infty e^-stf(t),dt. Vamos usar integração por partes para calcular o integral.

Passo 2

Definindo I=Lsin(bt)=integral0^infty e^-stsin(bt),dt.
Aqui aplicamos integração por partes em I. A fórmula é integral u,dv = uv - integral v,du. Escolhendo
u = \sin(bt), dv = e^{-st},dt,
resulta em du = b\cos(bt),dt e v = -\frac{1}{s}e^{-st}. Logo:
I = -1se^-stsin(bt)|0^infty + bsintegral0^infty e^-stcos(bt),dt
Como limttoinftye^-stsin(bt)=0 para Re(s)>0 e o termo em t=0 também anula, chamamos integral0^infty e^-stcos(bt),dt de Ic e ficamos com
I = bs,Ic

Passo 3

Agora calculamos Ic = integral0^infty e^-stcos(bt),dt de novo por partes, escolhendo
u = \cos(bt), dv = e^{-st},dt,
logo du = -b\sin(bt),dt e v = -\frac{1}{s}e^{-st}. Assim:
Ic = -1se^-stcos(bt)|0^infty + bsintegral0^infty e^-stsin(bt),dt
De novo o termo de fronteira some e o integral restante é I, então
Ic = 1s - bsI

Passo 4

Substituindo Ic em I = bsIc obtemos:
I = bsl(1s - bsIr) = bs^2 - b^2s^2I
Reorganizando para isolar I:
I + b^2s^2I = bs^2 Rightarrow Il(1+b^2s^2r)=bs^2 Rightarrow I=bs^2+b^2

Passo 5

Para que todo o processo faça sentido (os termos de fronteira vão a zero) precisamos de Re(s)>0, garantindo convergência.

Resposta

Lsin(bt)=bs^2+b^2, Re(s)>0

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