Encontre, pela definição, a transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir, onde e são constantes reais:
sen
Passo 1
Resumo: a gente precisa encontrar a transformada de Laplace de usando a definição . Vamos usar integração por partes para calcular o integral.
Passo 2
Definindo .
Aqui aplicamos integração por partes em . A fórmula é . Escolhendo
u = \sin(bt), dv = e^{-st},dt,
resulta em du = b\cos(bt),dt e v = -\frac{1}{s}e^{-st}. Logo:
Como limttoinftye^-stsin(bt)=0 para Re(s)>0 e o termo em t=0 também anula, chamamos integral0^infty e^-stcos(bt),dt de Ic e ficamos com
I = bs,Ic
Passo 3
Agora calculamos Ic = integral0^infty e^-stcos(bt),dt de novo por partes, escolhendo
u = \cos(bt), dv = e^{-st},dt,
logo du = -b\sin(bt),dt e v = -\frac{1}{s}e^{-st}. Assim:
Ic = -1se^-stcos(bt)|0^infty + bsintegral0^infty e^-stsin(bt),dt
De novo o termo de fronteira some e o integral restante é I, então
Ic = 1s - bsI
Passo 4
Substituindo Ic em I = bsIc obtemos:
I = bsl(1s - bsIr) = bs^2 - b^2s^2I
Reorganizando para isolar I:
I + b^2s^2I = bs^2 Rightarrow Il(1+b^2s^2r)=bs^2 Rightarrow I=bs^2+b^2
Passo 5
Para que todo o processo faça sentido (os termos de fronteira vão a zero) precisamos de Re(s)>0, garantindo convergência.