Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da série
. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries pelo comportamento assintótico dos termos, especialmente comparações com séries do tipo
.
Passo 2
Para ver se a série converge, observe o termo geral para
grande. Quando
temos
Como
define uma série p-série com
, ela converge.
Passo 3
Pelo teste da comparação limite, calcule
Como esse limite é finito e positivo, a série original tem o mesmo comportamento de
, portanto ela converge.
Passo 4
Apesar de ser convergente, não existe expressão fechada elementar conhecida para a soma
. Podemos apenas estimar numericamente a soma parcial para ter uma ideia de
.
Resposta
A série é convergente (por comparação com p-série de expoente 3/2). Não há forma fechada elementar conhecida para a soma.