Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.
sumn=1^infty raizn1+n^2

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série sumn=1^infty raizn1+n^2. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries pelo comportamento assintótico dos termos, especialmente comparações com séries do tipo sum n^-p.

Passo 2

Para ver se a série converge, observe o termo geral para n grande. Quando ntoinfty temos
raizn1+n^2sim n^1/2n^2=n^-3/2
Como n^-3/2 define uma série p-série com p=3/2>1, ela converge.

Passo 3

Pelo teste da comparação limite, calcule
limntoinfty raizn1+n^2n^-3/2 =limntoinfty n^1/21+n^2cdot n^3/2 =limntoinfty n^21+n^2=1
Como esse limite é finito e positivo, a série original tem o mesmo comportamento de sum n^-3/2, portanto ela converge.

Passo 4

Apesar de ser convergente, não existe expressão fechada elementar conhecida para a soma S=sumn=1^infty raizn1+n^2. Podemos apenas estimar numericamente a soma parcial para ter uma ideia de S.

Resposta

A série é convergente (por comparação com p-série de expoente 3/2). Não há forma fechada elementar conhecida para a soma.

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