Determine se a série é convergente ou divergente
\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\cdots

Passo 1

O enunciado apresenta a série de termos positivos
\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \cdots
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o teste de comparação (mais especificamente o teste de comparação-limite) com a série harmônica, que é conhecida por divergir.

Passo 2

Identificamos o termo geral da série. Para n\ge1, o n-ésimo termo é
a_n = \frac{1}{2n+1}.

Passo 3

Aplicamos o teste de comparação-limite com a série harmônica \sum \frac{1}{n}. Calculamos
\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1/(2n+1)}{1/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n+1} = \frac12.
Como o limite é um número positivo e finito, as duas séries têm o mesmo comportamento: a série harmônica \sum \frac{1}{n} diverge, portanto a nossa também diverge.

Resposta

A série é divergente.

Exercícios relacionados