Exercício 15. Explique o que significa \lim _{x \rightarrow p} f(x)=+\infty e \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=L. Dê um exemplo para cada caso.

Passo 1

O enunciado pede para explicar dois tipos de limite:
  1. \lim_{x\to p}f(x)=+\infty (limite infinito num ponto finito)
  2. \lim_{x\to+\infty}f(x)=L (limite num ponto infinito que é um número L)
O conteúdo é teoria de limites usando as definições formais (condições M \delta e \varepsilon N). Vamos então dar a definição de cada caso e, em seguida, apresentar um exemplo prático.

Passo 2

Definição de \lim_{x\to p}f(x)=+\infty: significa que, à medida que x se aproxima de p (mas x\neq p), os valores de f(x) crescem sem limite superior. Formalmente,
\forall M>0,\\ \exists \delta>0\text{ tal que }0<|x-p|<\delta\implies f(x)>M.
Em palavras, dado qualquer número grande M, conseguimos escolher um intervalo (p-\delta,p+\delta) onde f(x) fica maior que M.
Exemplo:
f(x)=\frac{1}{(x-3)^2}.
Quando x\to 3, o denominador tende a zero, então f(x)\to+\infty.

Passo 3

Definição de \lim_{x\to+\infty}f(x)=L: significa que, à medida que x cresce sem limite, os valores de f(x) se aproximam de um número fixo L. Formalmente,
\forall \varepsilon>0,\\ \exists N>0\text{ tal que }x>N\implies |f(x)-L|<\varepsilon.
Em outras palavras, além de algum ponto N, toda entrada x maior que N faz f(x) ficar dentro de um intervalo de tamanho 2\varepsilon ao redor de L.
Exemplo:
f(x)=2+\frac{1}{x}.
Quando x\to+\infty, o termo 1/x\to 0, logo f(x)\to 2.

Resposta

Para \lim_{x\to p}f(x)=+\infty usamos a definição
\forall M>0,\\ \exists \delta>0\text{ tal que }0<|x-p|<\delta\implies f(x)>M,
exemplo: f(x)=1/(x-3)^2, pois f(x)\to+\infty quando x\to3.
Para \lim_{x\to+\infty}f(x)=L usamos
\forall \varepsilon>0,\\ \exists N>0\text{ tal que }x>N\implies |f(x)-L|<\varepsilon,
exemplo: f(x)=2+1/x, pois f(x)\to2 quando x\to+\infty.

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