Exercício 1. Uma partícula se move de tal forma que sua posição s(t) (em metros) em função do tempo t (em segundos) é dada por s(t)=3 t^{2}+2 t. Estime a velocidade instantânea da partícula em t=2 segundos, utilizando o conceito de velocidades médias em intervalos de tempo cada vez menores.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo como
s(t)=3t^{2}+2t
e pede para estimar a velocidade instantânea em t=2 s usando o conceito de velocidades médias em intervalos cada vez menores. Para isso, vamos precisar do quociente de variação de s em torno de t=2 e observar o comportamento quando o intervalo tende a zero.

Passo 2

A velocidade média no intervalo de t=2 a t=2+h é dada por
v_{\text{média}}=\frac{s(2+h)-s(2)}{(2+h)-2}=\frac{s(2+h)-s(2)}{h}.é
Para estimar a velocidade instantânea, analisamos esse quociente quando h fica pequeno (positivos e negativos).

Passo 3

Vamos calcular s(2+h) e s(2):
s(2+h)=3(2+h)^{2}+2(2+h)=3\bigl(4+4h+h^{2}\bigr)+4+2h=16+14h+3h^{2},
s(2)=3\cdot 2^{2}+2\cdot2=12+4=16.
Logo,
s(2+h)-s(2)=\bigl(16+14h+3h^{2}\bigr)-16=14h+3h^{2}.

Passo 4

Substituindo no quociente de variação, obtemos
v_{\text{média}}=\frac{14h+3h^{2}}{h}=14+3h.é
Agora basta fazer h pequeno para ver a tendência: \,h=0{,}1\implies v_{\text{média}}=14+0{,}3=14{,}3é, \,h=0{,}01\implies v_{\text{média}}=14{,}03é, \,h=-0{,}1\implies v_{\text{média}}=14-0{,}3=13{,}7é, \,h=-0{,}01\implies v_{\text{média}}=13{,}97é.
Vemos que, à medida que h\to0, v_{\text{média}}\to14é.

Passo 5

Portanto, a velocidade instantânea em t=2 é o limite do quociente de variação quando h\to0, ou seja
v(2)=\lim_{h\to0}\bigl(14+3h\bigr)=14.

Resposta

A velocidade instantânea em t=2 segundos é 14 metros por segundo.

Exercícios relacionados