Determine se a série é convergente ou divergente e justifique sua afirmação. Se for convergente, calcule sua soma.
sumk=2^infty k^2k^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita pra analisar:
sumk=2^infty k^2k^2-1
O objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se a soma dela chega a um número finito) ou diverge (soma até o infinito). Se ela convergir, a gente também vai calcular qual é essa soma. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série, que é:
ak = k^2k^2-1
A gente quer entender como esse termo se comporta quando $ k $ fica bem grande (tende ao infinito). Simplificando a expressão:
k
Quando $ k $ cresce, $ \frac{1}{k^{2}} $ fica muito pequeno, então:
ak = k^2k^2-1 = k^2k^2(1 - 1k^2) = 11 - 1k^2

Passo 3

Agora, vamos lembrar de um teste importante: o Teste da Divergência (ou Teste do Termo Geral). Esse teste diz que:
Se o limite do termo geral $ a_k $ quando $ k $ tende ao infinito não for zero, então a série $ \sum a_k $ diverge.
No nosso caso, vimos que:
ak

Passo 4

Como o limite do termo geral não é zero, de acordo com o Teste da Divergência, a série não pode convergir. Isso significa que a soma dos termos dessa série cresce sem limite, ou seja, ela diverge.

Resposta

A série $ \sum_{k=2}^{\infty} \frac{k{2}}{k{2}-1} $ diverge porque o limite do termo geral é diferente de zero.

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