Determine se a série é convergente ou divergente.
∑n=1^∞ cos n πn^3 / 4

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
sumn=1^infty cos npin^3/4
O conteúdo é teste de convergência de séries, em particular séries alternantes e p-séries. Vamos usar a identidade cos(npi)=(-1)^n, o critério de Leibniz para séries alternantes e o teste da p-série.

Passo 2

Como cos(npi)=(-1)^n, o termo geral fica
cos npin^3/4=(-1)^nn^3/4
Definimos an=1n^3/4. Note que an>0, é monótona decrescente e
limntoinftyan=limntoinfty1n^3/4=0
Pelo critério de Leibniz (série alternante com termos decrescentes a zero), a série converge.

Passo 3

Para checar convergência absoluta, consideramos
sumn=1^inftygl|(-1)^nn^3/4gr| =sumn=1^infty1n^3/4
Isto é uma p-série com p=tfrac34<=1, portanto diverge. Logo, a nossa série não converge absolutamente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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