Questão 03 - Temos que resolver as equações:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes
O que precisamos é montar a equação característica, encontrar suas raízes (possivelmente complexas) e escrever a solução geral como combinação linear de exponenciais (ou exponenciais vezes senos e cossenos, no caso de raízes complexas).
Passo 2
Formamos a equação característica substituindo
, de modo que cada derivada contribui com
:
Passo 3
Para resolver este polinômio de quarto grau, observamos que ele se fatoriza em dois quadráticos complexos conjugados da forma
onde
e
satisfazem
Isso leva a
Passo 4
Cada fator quadrático dá duas raízes. Por exemplo, de
vem
Análogamente, do conjugado
surgem
Passo 5
Para escrever a parte real da solução de modo compacto, definimos
Então
e as quatro raízes podem ser agrupadas em dois pares conjugados da forma
Passo 6
Como cada par conjugado gera uma parte real da solução com exponencial vezes cosseno e seno, a solução geral fica
onde
são constantes arbitrárias.
Resposta
com