Questão 03 - Temos que resolver as equações:
y^prime prime prime prime+6 y^prime prime prime+7 y^prime prime-6 y^prime+8 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes
y^(4) + 6y^(3) + 7y'' -6y' +8y = 0
O que precisamos é montar a equação característica, encontrar suas raízes (possivelmente complexas) e escrever a solução geral como combinação linear de exponenciais (ou exponenciais vezes senos e cossenos, no caso de raízes complexas).

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo ymapsto e^rx, de modo que cada derivada contribui com r:
r^4 + 6r^3 + 7r^2 -6r +8 = 0

Passo 3

Para resolver este polinômio de quarto grau, observamos que ele se fatoriza em dois quadráticos complexos conjugados da forma
(r^2 + 3r + z1),(r^2 + 3r + z2)=0
onde z1 e z2 satisfazem
z1+z2 = 7 - (3cdot3) = -2, z1,z2 = 8
Isso leva a
z1,2 = -1 pm iraiz7

Passo 4

Cada fator quadrático dá duas raízes. Por exemplo, de
r^2 + 3r + (-1 + iraiz7)=0
vem
r = -3 pm raiz9 -4(-1 + iraiz7)2 = -3 pm raiz13 -4iraiz72
Análoga­mente, do conjugado r^2 + 3r +(-1 - iraiz7)=0 surgem
r = -3 pm raiz13 +4iraiz72

Passo 5

Para escrever a parte real da solução de modo compacto, definimos
De<a = raiz281, p = raiz13 + De<a2, q = raizDe<a -132
Então
raiz13 pm 4,iraiz7 = p pm i,q,
e as quatro raízes podem ser agrupadas em dois pares conjugados da forma
r1,2 = -3 + p2 pm i,q2, r3,4 = -3 - p2 pm i,q2

Passo 6

Como cada par conjugado gera uma parte real da solução com exponencial vezes cosseno e seno, a solução geral fica
y(x) = e^-3 + p2xl(C1cos!l(tfracq2xr)+C2sin!l(tfracq2xr)r) + e^-3 - p2xl(C3cos!l(tfracq2xr)+C4sin!l(tfracq2xr)r),
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = e^-3 + p2xl(C1cos!l(tfracq2xr)+C2sin!l(tfracq2xr)r) + e^-3 - p2xl(C3cos!l(tfracq2xr)+C4sin!l(tfracq2xr)r),
com
De<a = raiz281, p = raiz13 + De<a2, q = raizDe<a -132

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