Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
Trata-se de uma série alternante cujo termo geral é
Para concluir sobre sua convergência, vamos usar o teste da razão para a série de termos positivos
(convergência absoluta) e também verificar a condição necessária
.
Passo 2
Definimos
Uma série converge somente se seu termo geral tende a zero. Logo, antes de mais nada, é suficiente mostrar que
não tende a zero. Vamos, porém, confirmar isso pelo teste da razão.
Passo 3
Calculamos a razão
Tomando o limite,
Passo 4
Como
, o teste da razão garante que
é divergente, ou seja, a série não converge absolutamente. Além disso, de
segue que
para
grande, então
cresce e não tende a zero. Portanto
também não tende a zero, e a série nem converge condicionalmente.
Resposta
A série é divergente.