Determine se a série é convergente ou divergente.
∑n=1^∞(-1)^n n^nn!

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n,n^nn!
Trata-se de uma série alternante cujo termo geral é
un = (-1)^n,n^nn!
Para concluir sobre sua convergência, vamos usar o teste da razão para a série de termos positivos sum |un| (convergência absoluta) e também verificar a condição necessária unto0.

Passo 2

Definimos
an = |un| = n^nn!
Uma série converge somente se seu termo geral tende a zero. Logo, antes de mais nada, é suficiente mostrar que an não tende a zero. Vamos, porém, confirmar isso pelo teste da razão.

Passo 3

Calculamos a razão
an+1an = (n+1)^n+1(n+1)!n^nn! = (n+1)^n+1n^n,n!(n+1)! = (n+1)^n+1n^n,1n+1 = (n+1)^nn^n = l(1+1nr)^n
Tomando o limite,
L = limntoinftyan+1an = limntoinftyl(1+1nr)^n = e

Passo 4

Como L = e > 1, o teste da razão garante que
sumn=1^inftyan = sumn=1^inftyn^nn!
é divergente, ou seja, a série não converge absolutamente. Além disso, de L>1 segue que an+1/an>1 para n grande, então an cresce e não tende a zero. Portanto un também não tende a zero, e a série nem converge condicionalmente.

Resposta

A série é divergente.

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