Questão 03 - Temos que resolver as equações:
y^prime prime prime prime-3 y^prime prime prime+3 y^prime prime-3 y^prime+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes
y^(4) - 3,y^(3) + 3,y'' - 3,y' + 2,y = 0
O método é formar a equação característica, encontrar suas raízes e escrever a solução geral como combinação linear de exponenciais e funções trigonométricas (no caso de raízes complexas).

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo y sim e^m x, o que leva a
m^4 - 3m^3 + 3m^2 - 3m + 2 = 0

Passo 3

Procuramos raízes inteiras. Testando m=1:
1^4 - 3cdot1^3 + 3cdot1^2 - 3cdot1 + 2 = 0,
logo m=1 é raiz. Dividindo o polinômio por (m-1) obtemos
m^3 - 2m^2 + m - 2 = 0
Testando m=2 nesse cubo:
2^3 - 2cdot2^2 + 2 - 2 = 0,
logo m=2 é raiz. Dividindo por (m-2) sobra
m^2 + 1 = 0,
cuja soluções são m = pm i.

Passo 4

As raízes são m1=1, m2=2 e m3,4=pm i. Portanto a solução geral é
y(x) = C1 e^x + C2 e^2x + C3cos(x) + C4sin(x),
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 e^2x + C3cos(x) + C4sin(x)

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