Questão 03 - Temos que resolver as equações:
y^prime prime prime prime+y^prime prime prime-7 y^prime prime + 6 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes
y^(4) + y^(3) -7y'' +6y = 0
O conteúdo aqui é o método da equação característica: supomos uma solução da forma y=e^m x e obtemos um polinômio em m.

Passo 2

Assumindo y=e^m x temos
y' = m,e^m x, y''=m^2e^m x, y^(3)=m^3e^m x, y^(4)=m^4e^m x
Substituindo em
y^(4)+y^(3)-7y''+6y=0
e dividindo por e^m xneq0, surge a equação característica
m^4 + m^3 -7m^2 +6 = 0

Passo 3

Para encontrar as raízes de
m^4 + m^3 -7m^2 +6 = 0
usamos o teste de raízes racionais (divisores de 6) e vemos que pm1,pm2,pm3,pm6 não anulam o polinômio. Logo as quatro raízes são reais e irracionais. Aplicando métodos numéricos (por exemplo, análise de mudança de sinal e interpolação) obtemos aproximações
m1 approx -3,065, m2 approx -0,923, m3 approx 1,161, m4 approx 1,834

Passo 4

Como todas as raízes mi são simples e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C1e^m1x + C2e^m2x + C3e^m3x + C4e^m4x,
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

Resposta

boxedy(x) = C1e^-3,065,x + C2e^-0,923,x + C3e^1,161,x + C4e^1,834,x

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