Determine se a série é convergente ou divergente.
∑n=1^∞(-1)^n-1 raiznn+4

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty(-1)^n-1,raiznn+4
é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é o Teste de Leibniz (séries alternadas) e, em seguida, verificar a convergência absoluta.

Passo 2

Identificamos o termo geral positivo
an = raiznn+4
e a série alterna pelo fator (-1)^n-1. Para aplicar o Teste de Leibniz precisamos de duas coisas sobre an:
  1. limntoinftyan = 0.
  2. an é monótonamente decrescente a partir de algum n.
Primeiro, observe que
limntoinftyan = limntoinftyraiznn+4 = limntoinftyn^1/2n(1+4/n) = limntoinfty1n^1/2(1+4/n) = 0

Passo 3

Para verificar que an é decrescente para n grande, considere a função contínua
f(x)=raizxx+4, x>0
Seu derivado é
f'(x) =12raizx,(x+4);-;raizx(x+4)^2 =-,x+42raizx,(x+4)^2
Para x>4 temos -x+4<0, logo f'(x)<0. Assim an=f(n) é decrescente para todo n>=5.

Passo 4

Como anto0 e an é decrescente a partir de n=5, o Teste de Leibniz garante que
sumn=1^infty(-1)^n-1an
converge.

Passo 5

Para ver que a convergência não é absoluta, examine
sumn=1^inftyl|(-1)^n-1anr| =sumn=1^inftyraiznn+4
Para n grande, raiznn+4sim1raizn. Como a série de termos gerais 1raizn é divergente (p-série com p=tfrac12<1), por comparação limitada a soma dos módulos também diverge.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo Teste de Leibniz, mas não converge absolutamente).

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