Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge ou diverge.
O conteúdo necessário é o teste de Leibniz para séries alternadas e o teste de comparação para verificar convergência absoluta.
O conteúdo necessário é o teste de Leibniz para séries alternadas e o teste de comparação para verificar convergência absoluta.
Passo 2
Definimos o termo geral positivo
Para aplicar o teste de Leibniz precisamos que
.
De fato,
De fato,
Passo 3
Verificamos que
é monótona decrescente para
, pois
Passo 4
Pelas condições do teste de Leibniz (termos alternados,
), concluímos que
converge (pelo menos condicionalmente).
Passo 5
Para ver que ela converge absolutamente, comparamos
com a série de p-série
sum 1n^2 . Como
e
sum 1n^2 converge (
p=2>1 ), pelo critério da comparação a série de valores absolutos também converge. Assim a série original converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente e, portanto, converge.