Determine se a série é convergente ou divergente.
∑n=1^∞ (-1)^n+14 n^2+1

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty (-1)^n+14n^2+1
converge ou diverge.
O conteúdo necessário é o teste de Leibniz para séries alternadas e o teste de comparação para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Definimos o termo geral positivo
an = 14n^2+1
Para aplicar o teste de Leibniz precisamos que limntoinftyan=0.
De fato,
limntoinftyan = limntoinfty14n^2+1 =0

Passo 3

Verificamos que (an) é monótona decrescente para n>=1, pois
4(n+1)^2+1 ;>;4n^2+1 Longrightarrow 14(n+1)^2+1 ;<;14n^2+1 ;Longrightarrow;an+1<an

Passo 4

Pelas condições do teste de Leibniz (termos alternados, ansearrow0), concluímos que
sumn=1^infty (-1)^n+14n^2+1
converge (pelo menos condicionalmente).

Passo 5

Para ver que ela converge absolutamente, comparamos
sumn=1^infty l|anr| =sumn=1^infty14n^2+1
com a série de p-série sum 1n^2. Como
14n^2+1 <= 14n^2 =14,1n^2
e sum 1n^2 converge ( p=2>1), pelo critério da comparação a série de valores absolutos também converge. Assim a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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