Prove, de um modo geral, que
cos n theta & =cos ^n theta-n(n-1)2 cos ^n-2 theta sen^2 theta+ldots & =P(cos theta, sen theta) sen n theta & =n cos ^n-1 theta sen theta-n(n-1)(n-2)6 cos ^n-3 sen^3 theta+ldots & =Q(cos theta, sen theta)
onde P e Q são polinômios convenientes, homogêneos e de grau n nas duas variáveis cos theta e sen theta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para todo inteiro n>=1, existem polinômios homogêneos de grau n, P e Q, tais que
cos(ntheta)=Pl(costheta,sinthetar), sin(ntheta)=Ql(costheta,sinthetar)
O que vamos usar é a fórmula de Euler e o Teorema do Binômio.

Passo 2

Recordando a fórmula de Euler, temos
e^itheta=costheta+isintheta
Elevando ambos os lados à potência n, obtemos a fórmula de de Moivre:
e^i ntheta=l(e^ithetar)^n =(costheta+isintheta)^n

Passo 3

Aplicamos agora o Teorema do Binômio ao fator (costheta+isintheta)^n:
(costheta+isintheta)^n =sumk=0^nbinomnkcos^,n-k!theta,(isintheta)^k =sumk=0^nbinomnki^k,cos^,n-k!theta,sin^,k!theta

Passo 4

Como e^i ntheta=cos(ntheta)+isin(ntheta), identificamos real e imaginário na soma:
  • Termos com k=2r (pares) contribuem para a parte real com i^2r=(-1)^r.
  • Termos com k=2r+1 (ímpares) contribuem para a parte imaginária com i^2r+1=(-1)^ri.
Logo,
cos(ntheta) =sumr=0^lfloor n/2rfloor binomn2r(-1)^r,cos^,n-2r!theta,sin^,2r!theta,
sin(ntheta) =sumr=0^lfloor (n-1)/2rfloor binomn2r+1(-1)^r,cos^,n-(2r+1)!theta,sin^,2r+1!theta

Passo 5

Observamos que em cada soma cada monômio é do tipo cos^,n-k!theta,sin^,k!theta, cuja soma dos expoentes é n. Portanto os coeficientes binomiais e os sinais (-1)^r definem polinômios homogêneos de grau n. Comparando com os primeiros termos:
cos(ntheta) =cos^n!theta -n(n-1)2cos^,n-2!theta,sin^2!theta +dots
sin(ntheta) =ncos^,n-1!theta,sintheta -n(n-1)(n-2)6cos^,n-3!theta,sin^3!theta +dots
ficando comprovado que cos(ntheta)=P(costheta,sintheta) e sin(ntheta)=Q(costheta,sintheta).

Resposta

Usando de Moivre e o Teorema do Binômio, mostramos que
cos(ntheta) =sumr=0^lfloor n/2rfloor binomn2r(-1)^rcos^,n-2r!theta,sin^,2r!theta,
sin(ntheta) =sumr=0^lfloor (n-1)/2rfloor binomn2r+1(-1)^rcos^,n-(2r+1)!theta,sin^,2r+1!theta,
que são polinômios homogêneos de grau n em costheta e sintheta.

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