Prove, de um modo geral, que
onde
e
são polinômios convenientes, homogêneos e de grau
nas duas variáveis
e sen
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para todo inteiro
, existem polinômios homogêneos de grau
,
e
, tais que
O que vamos usar é a fórmula de Euler e o Teorema do Binômio.
Passo 2
Recordando a fórmula de Euler, temos
Elevando ambos os lados à potência
, obtemos a fórmula de de Moivre:
Passo 3
Aplicamos agora o Teorema do Binômio ao fator
:
Passo 4
Como
, identificamos real e imaginário na soma:
- Termos com
(pares) contribuem para a parte real com . - Termos com
(ímpares) contribuem para a parte imaginária com .
Logo,
Passo 5
Observamos que em cada soma cada monômio é do tipo
, cuja soma dos expoentes é
. Portanto os coeficientes binomiais e os sinais
definem polinômios homogêneos de grau
. Comparando com os primeiros termos:
ficando comprovado que
e
.
Resposta
Usando de Moivre e o Teorema do Binômio, mostramos que
que são polinômios homogêneos de grau
em
e
.