Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+1}

Passo 1

O enunciado dá a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{3}+1},
e pede para determinar se essa série é convergente ou divergente. Informações úteis que temos diretamente do enunciado:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{n}{n^{3}+1}.
  • Os termos a_n são positivos para todo n\ge1.
  • A tarefa é classificar a série como convergente ou divergente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma família de séries muito importante que usaremos como referência: as séries p-séries. Uma p-série tem a forma
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}},
onde p é um número real. O resultado-chave sobre p-séries é:
  • Se p>1 então \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge.
  • Se p\le1 então \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} diverge.
    Aqui p é simplesmente o expoente no denominador e determina quão rápido os termos vão a zero.

Passo 3

Também precisamos lembrar o teste da comparação direta (para séries com termos não negativos). Ele diz:
  • Se 0\le a_n\le b_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
  • Analogamente, se 0\le b_n\le a_n e \sum b_n diverge, então \sum a_n diverge.
    Esse teste é útil quando podemos comparar o termo da série com outro termo cuja convergência já conhecemos (por exemplo uma p-série).

Passo 4

Agora vamos comparar o termo a_n=\dfrac{n}{n^{3}+1} com uma p-série adequada. Observação simples sobre o denominador:
para todo n\ge1 vale
n^{3}+1 \ge n^{3}.
Como o denominador é maior ou igual a n^3, a fração \dfrac{1}{n^{3}+1} é menor ou igual a \dfrac{1}{n^{3}}. Multiplicando ambos os lados por n>0, obtemos a desigualdade
\frac{n}{n^{3}+1} \le \frac{n}{n^{3}}.

Passo 5

Simplificando a expressão à direita da desigualdade:
\frac{n}{n^{3}}=\frac{1}{n^{2}}.
Portanto, para todo n\ge1,
0 \le \frac{n}{n^{3}+1} \le \frac{1}{n^{2}}.
Isso coloca o termo dado abaixo do termo de uma p-série com p=2.

Passo 6

Aplicando o teste da comparação direta: sabemos que a p-série com p=2,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}},
converge (porque 2>1). Como 0\le a_n\le 1/n^{2} para todo n, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{3}+1}
converge também, por comparação direta com a p-série convergente.

Passo 7

(Apresento aqui, opcionalmente, um outro argumento equivalente para confirmar a conclusão.) Usando o teste da comparação de limites (limit comparison): tome a_n=\dfrac{n}{n^{3}+1} e b_n=\dfrac{1}{n^{2}}. Calcule o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n}{n^{3}+1}}{\dfrac{1}{n^{2}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{n^{3}+1}=1.
Como esse limite é um número finito e estritamente positivo, \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento; como \sum b_n converge, segue que \sum a_n converge. Esse argumento confirma o resultado anterior.

Resposta

Convergente

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