Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado dá a série infinita
e pede para determinar se essa série é convergente ou divergente. Informações úteis que temos diretamente do enunciado:
- O termo geral da série é
. - Os termos
são positivos para todo . - A tarefa é classificar a série como convergente ou divergente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma família de séries muito importante que usaremos como referência: as séries
-séries. Uma
-série tem a forma
onde
é um número real. O resultado-chave sobre
-séries é:
- Se
então converge. - Se
então diverge.
Aquié simplesmente o expoente no denominador e determina quão rápido os termos vão a zero.
Passo 3
Também precisamos lembrar o teste da comparação direta (para séries com termos não negativos). Ele diz:
- Se
para todo suficientemente grande e converge, então também converge. - Analogamente, se
e diverge, então diverge.
Esse teste é útil quando podemos comparar o termo da série com outro termo cuja convergência já conhecemos (por exemplo uma-série).
Passo 4
Agora vamos comparar o termo
com uma
-série adequada. Observação simples sobre o denominador:
para todo vale
para todo
Como o denominador é maior ou igual a
, a fração
é menor ou igual a
. Multiplicando ambos os lados por
, obtemos a desigualdade
Passo 5
Simplificando a expressão à direita da desigualdade:
Portanto, para todo
,
Isso coloca o termo dado abaixo do termo de uma
-série com
.
Passo 6
Aplicando o teste da comparação direta: sabemos que a
-série com
,
converge (porque
). Como
para todo
, a série
converge também, por comparação direta com a
-série convergente.
Passo 7
(Apresento aqui, opcionalmente, um outro argumento equivalente para confirmar a conclusão.) Usando o teste da comparação de limites (limit comparison): tome
e
. Calcule o limite
Como esse limite é um número finito e estritamente positivo,
e
têm o mesmo comportamento; como
converge, segue que
converge. Esse argumento confirma o resultado anterior.
Resposta
Convergente