Use séries de potências para resolver a equação diferencial.
y^{\prime \prime}+x^{2} y=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + x^{2}y = 0
com condições iniciais
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
O que se pede é encontrar a solução y(x) usando séries de potências centradas em x=0. As informações relevantes que temos são exatamente a equação e as duas condições iniciais. A solução que vamos construir deve satisfazer ambas.

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): vamos supor que a solução é dada por uma série de potências em torno de 0. Escrever a solução e suas derivadas como séries permite igualar coeficientes de potências de x e obter uma recorrência entre os coeficientes. Vou agora escrever essa suposição e as derivadas explicitamente.
Suponha
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n},
onde cada a_{n} é um coeficiente a determinar. Então as derivadas são obtidas termo a termo (explico o porquê: derivada de a_n x^n é n a_n x^{n-1}, e podemos somar as derivadas porque a série converge localmente):
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}, \qquad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_{n}x^{n-2}.

Passo 3

Agora reescrevo y'' e x^{2}y como séries com a mesma potência de x para poder somar termo a termo. Faço uma mudança de índice em y'' para ter potências x^{m} com m=n-2:
y''(x)=\sum_{m=0}^{\infty} (m+2)(m+1)a_{m+2}x^{m}.
Também
x^{2}y(x)=x^{2}\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n+2}.
Faço a mudança de índice na última para apresentá-la como série em x^{m} (tomando m=n+2, ou explicitando que os coeficientes para potências menores que x^{2} são zero):
x^{2}y(x)=\sum_{m=2}^{\infty} a_{m-2}x^{m}.
Para somar com y'' é conveniente escrever x^{2}y também como soma começando em m=0 com a_{-2}=a_{-1}=0:
x^{2}y(x)=\sum_{m=0}^{\infty} a_{m-2}x^{m},
onde por convenção a_{-2}=a_{-1}=0.
Substituindo na equação diferencial y''+x^{2}y=0 e combinando séries temos, para todo m\ge 0,
(m+2)(m+1)a_{m+2}+a_{m-2}=0.
Essa é a relação de recorrência entre os coeficientes. Vou escrevê-la isolando a_{m+2}:
a_{m+2}=-\frac{a_{m-2}}{(m+2)(m+1)},\qquad m\ge 0,
com a_{-2}=a_{-1}=0.

Passo 4

Agora uso as condições iniciais para fixar os primeiros coeficientes. Pela definição da série,
y(0)=a_{0}=1, \qquad y'(0)=a_{1}=0.
Então a_{0}=1 e a_{1}=0.
Usando a recorrência, calculo alguns coeficientes iniciais para identificar o padrão.
  • Para m=0:
2\cdot1\;a_{2}+a_{-2}=0\quad\Rightarrow\quad 2a_{2}=0\quad\Rightarrow\quad a_{2}=0.
  • Para m=1:
3\cdot2\;a_{3}+a_{-1}=0\quad\Rightarrow\quad 6a_{3}=0\quad\Rightarrow\quad a_{3}=0.
  • Para m=2:
4\cdot3\;a_{4}+a_{0}=0\quad\Rightarrow\quad 12a_{4}+a_{0}=0
Logo, usando a_{0}=1,
a_{4}=-\frac{1}{12}.
  • Para m=3:
5\cdot4\;a_{5}+a_{1}=0\quad\Rightarrow\quad 20a_{5}+0=0\quad\Rightarrow\quad a_{5}=0.
  • Para m=4:
6\cdot5\;a_{6}+a_{2}=0\quad\Rightarrow\quad 30a_{6}+0=0\quad\Rightarrow\quad a_{6}=0.
  • Para m=6 (pulando para onde aparece a_{8}):
    usar m=6:
8\cdot7\;a_{8}+a_{4}=0\quad\Rightarrow\quad 56a_{8}+a_{4}=0.
Substituindo a_{4}=-\tfrac{1}{12},
a_{8}=-\frac{a_{4}}{56}=-\frac{-1/12}{56}=\frac{1}{672}.
Observação do padrão: muitos coeficientes são zero. De fato, a recorrência liga a_{m+2} com a_{m-2}, então os coeficientes quebram em quatro classes por congruência de índice módulo 4. Com os valores iniciais a_{0}=1 e a_{1}=0 e com a_{2}=a_{3}=0 obtidos, verifica-se que todos os coeficientes com índice congruente a 1,2,3 modulo 4 são zero, restando apenas os coeficientes a_{0},a_{4},a_{8},a_{12},\dots.
Para focar nesses termos, escrevo a recorrência para índices múltiplos de 4. Tome m=4n-2 (para n\ge 1); então a recorrência dá
(4n)(4n-1)a_{4n}+a_{4n-4}=0,
ou seja
a_{4n}=-\frac{a_{4n-4}}{4n(4n-1)}.
Essa relação conecta cada a_{4n} com o anterior a_{4n-4}. Aplicando repetidamente e usando a_{0}=1 obtemos a fórmula em produto:
a_{4n}=(-1)^{n}\frac{1}{\displaystyle\prod_{j=1}^{n} (4j)(4j-1)}.
Verificação rápida com n=1: a_{4} = -1/(4\cdot3) = -1/12. Para n=2: a_{8} = (+1)/(4\cdot3\cdot8\cdot7)=1/672, que coincide com os valores calculados.
Assim a solução tem apenas potências múltiplas de 4:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{4n} x^{4n} =\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{4n}}{\displaystyle\prod_{j=1}^{n} (4j)(4j-1)},
com a convenção de produto vazio para n=0 igual a 1, o que dá a_{0}=1.

Passo 5

Interpretação e propriedades úteis para a prova: a série encontrada é uma série de potências com raio de convergência infinito (pode-se verificar pela forma factorial dos denominadores que os coeficientes decrescem suficientemente rápido — aqui não é necessário detalhar o teste de razão na prova, basta saber que a solução power series converge para todo x). A solução é uma função par (só aparecem potências pares múltiplas de 4), consistente com a condição y'(0)=0. Para uso prático na prova, normalmente basta escrever os primeiros termos e a fórmula geral dos coeficientes.
Os primeiros termos da série são
y(x)=1-\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{8}}{672}-\frac{x^{12}}{88704}+\cdots,
que seguem a regra geral já dada.

Resposta

y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{4n}}{\displaystyle\prod_{j=1}^{n} (4j)(4j-1)} =1-\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{8}}{672}-\frac{x^{12}}{88704}+\cdots

Exercícios relacionados