Use séries de potências para resolver a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem
com condições iniciais
O que se pede é encontrar a solução
usando séries de potências centradas em
. As informações relevantes que temos são exatamente a equação e as duas condições iniciais. A solução que vamos construir deve satisfazer ambas.
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): vamos supor que a solução é dada por uma série de potências em torno de
. Escrever a solução e suas derivadas como séries permite igualar coeficientes de potências de
e obter uma recorrência entre os coeficientes. Vou agora escrever essa suposição e as derivadas explicitamente.
Suponha
onde cada
é um coeficiente a determinar. Então as derivadas são obtidas termo a termo (explico o porquê: derivada de
é
, e podemos somar as derivadas porque a série converge localmente):
Passo 3
Agora reescrevo
e
como séries com a mesma potência de
para poder somar termo a termo. Faço uma mudança de índice em
para ter potências
com
:
Também
Faço a mudança de índice na última para apresentá-la como série em
(tomando
, ou explicitando que os coeficientes para potências menores que
são zero):
Para somar com
é conveniente escrever
também como soma começando em
com
:
onde por convenção
.
Substituindo na equação diferencial
e combinando séries temos, para todo
,
Essa é a relação de recorrência entre os coeficientes. Vou escrevê-la isolando
:
com
.
Passo 4
Agora uso as condições iniciais para fixar os primeiros coeficientes. Pela definição da série,
Então
e
.
Usando a recorrência, calculo alguns coeficientes iniciais para identificar o padrão.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Logo, usando
,
- Para
:
- Para
:
- Para
(pulando para onde aparece ):
usar:
Substituindo
,
Observação do padrão: muitos coeficientes são zero. De fato, a recorrência liga
com
, então os coeficientes quebram em quatro classes por congruência de índice módulo
. Com os valores iniciais
e
e com
obtidos, verifica-se que todos os coeficientes com índice congruente a
modulo
são zero, restando apenas os coeficientes
.
Para focar nesses termos, escrevo a recorrência para índices múltiplos de
. Tome
(para
); então a recorrência dá
ou seja
Essa relação conecta cada
com o anterior
. Aplicando repetidamente e usando
obtemos a fórmula em produto:
Verificação rápida com
:
. Para
:
, que coincide com os valores calculados.
Assim a solução tem apenas potências múltiplas de
:
com a convenção de produto vazio para
igual a
, o que dá
.
Passo 5
Interpretação e propriedades úteis para a prova: a série encontrada é uma série de potências com raio de convergência infinito (pode-se verificar pela forma factorial dos denominadores que os coeficientes decrescem suficientemente rápido — aqui não é necessário detalhar o teste de razão na prova, basta saber que a solução power series converge para todo
). A solução é uma função par (só aparecem potências pares múltiplas de
), consistente com a condição
. Para uso prático na prova, normalmente basta escrever os primeiros termos e a fórmula geral dos coeficientes.
Os primeiros termos da série são
que seguem a regra geral já dada.