Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{n^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{n^{3}+1}
é convergente ou divergente. Informações importantes dadas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{n^{2}+1}{n^{3}+1}.
  • Para todo n\ge1 temos n^{2}+1>0 e n^{3}+1>0, então a_n>0 (série de termos positivos).
  • O que se pede: decidir convergência (soma finita) ou divergência (soma que não converge).

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática).
  • Observação rápida: para n grande os termos polinomiais são dominados pelos termos de maior grau. Aqui o numerador tem grau 2 e o denominador tem grau 3, então a_n deve se comportar aproximadamente como 1/n quando n\to\infty. Isso sugere comparar com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n}.
  • Ferramenta escolhida: Critério da comparação por limite (Limit Comparison Test). Enunciado do critério (versão usada):
    • Sejam (a_n) e (b_n) sequências de termos positivos. Se L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}existe e 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
    • Aqui escolhemos b_n=\dfrac{1}{n} (a série \sum b_n é a série harmônica, sabidamente divergente).
  • Explicando por que isso funciona (intuição): se \dfrac{a_n}{b_n}\to L>0, então para n grande a_n e b_n são proporcionais (uma é aproximadamente L vezes a outra), logo somas se comportam igual.

Passo 3

Cálculo do limite pedido pelo critério.
  • Queremos calcular L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n^{2}+1}{n^{3}+1}}{\dfrac{1}{n}}.
  • Simplificando a razão: \frac{\dfrac{n^{2}+1}{n^{3}+1}}{\dfrac{1}{n}} =n\cdot\frac{n^{2}+1}{n^{3}+1} =\frac{n^{3}+n}{n^{3}+1}.
  • Para calcular o limite de \dfrac{n^{3}+n}{n^{3}+1} divido numerador e denominador por n^{3}: \frac{n^{3}+n}{n^{3}+1} =\frac{1+\dfrac{1}{n^{2}}}{1+\dfrac{1}{n^{3}}}.
  • Tomando n\to\infty obtemos L=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\dfrac{1}{n^{2}}}{1+\dfrac{1}{n^{3}}}= \frac{1+0}{1+0}=1.
  • Portanto L=1, que é um número finito e positivo.

Passo 4

Conclusão a partir do critério.
  • Pelas hipóteses do critério (termos positivos) e por termos encontrado L=1 com 0<L<\infty, a série \sum a_n tem o mesmo comportamento da série \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n}.
  • A série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} é divergente (fato clássico: suas somas parciais crescem sem limite, comportando-se como \log n).
  • Logo a série dada tem o mesmo comportamento de divergência.

Resposta

A série diverge.

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