Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Informações importantes dadas:
- O termo geral é
. - Para todo
temos e , então (série de termos positivos). - O que se pede: decidir convergência (soma finita) ou divergência (soma que não converge).
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática).
- Observação rápida: para
grande os termos polinomiais são dominados pelos termos de maior grau. Aqui o numerador tem grau e o denominador tem grau , então deve se comportar aproximadamente como quando . Isso sugere comparar com a série harmônica . - Ferramenta escolhida: Critério da comparação por limite (Limit Comparison Test). Enunciado do critério (versão usada):
- Sejam
e sequências de termos positivos. Se existe e , então e têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. - Aqui escolhemos
(a série é a série harmônica, sabidamente divergente).
- Sejam
- Explicando por que isso funciona (intuição): se
, então para grande e são proporcionais (uma é aproximadamente vezes a outra), logo somas se comportam igual.
Passo 3
Cálculo do limite pedido pelo critério.
- Queremos calcular
- Simplificando a razão:
- Para calcular o limite de
divido numerador e denominador por : - Tomando
obtemos - Portanto
, que é um número finito e positivo.
Passo 4
Conclusão a partir do critério.
- Pelas hipóteses do critério (termos positivos) e por termos encontrado
com , a série tem o mesmo comportamento da série . - A série harmônica
é divergente (fato clássico: suas somas parciais crescem sem limite, comportando-se como ). - Logo a série dada tem o mesmo comportamento de divergência.
Resposta
A série diverge.