Encontre a série de Taylor de f(x)=\cos x em a=\pi / 3.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos disponível:
  • Pede: encontrar a série de Taylor de f(x)=\cos x centrada em a=\pi/3. Ou seja, escrever \cos x como uma soma em potências de (x-\pi/3).
  • Informação útil (valores trigonométricos que vamos usar): \cos(\pi/3)=\tfrac{1}{2} e \sin(\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Lembrete do que precisamos calcular: os coeficientes da série vêm das derivadas de f avaliadas em a, pela fórmula de Taylor.

Passo 2

Fórmula de Taylor (aula rápida e didática).
  • Para uma função suficientemente suave, a série de Taylor de f centrada em a é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}.
  • Explicando cada pedaço:
    • f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em x=a.
    • n! é o fatorial de n (ex.: 3!=6).
    • (x-a)^{n} é a potência que aprox. mede o quanto x está afastado do ponto de expansão.
  • No caso de funções elementares como \cos x, a série de Taylor existe e converge para todo x (a função é inteira).

Passo 3

Derivadas de \cos x e padrão cíclico (aula prática).
  • Calculemos as primeiras derivadas e seus valores em a=\pi/3:
    • f(x)=\cos x f(a)=\cos(\pi/3)=\tfrac{1}{2}.
    • f'(x)=-\sin x f'(a)=-\sin(\pi/3)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
    • f''(x)=-\cos x f''(a)=-\cos(\pi/3)=-\tfrac{1}{2}.
    • f^{(3)}(x)=\sin x f^{(3)}(a)=\sin(\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
    • f^{(4)}(x)=\cos x e o ciclo se repete a cada 4 derivadas.
  • Observação didática: para \cos x as derivadas repetem em ciclo de período 4, portanto é conveniente separar termos pares e ímpares.

Passo 4

Expressar o padrão geral das derivadas (fórmula para coeficientes).
  • Para índices pares n=2m: f^{(2m)}(a)=(-1)^{m}\cos(a).Explicação: cada duas derivadas trocam o sinal de \cos, daí o fator (-1)^m.
  • Para índices ímpares n=2m+1: f^{(2m+1)}(a)=(-1)^{m+1}\sin(a).Explicação: a derivada ímpar envolve \sin com sinal alternado; reescrevemos (-1)^{m+1} para simplificar depois.
  • Substituindo a=\pi/3, \cos(a)=\tfrac{1}{2}, \sin(a)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}: f^{(2m)}(\pi/3)=\frac{(-1)^{m}}{2},\qquad f^{(2m+1)}(\pi/3)=\frac{(-1)^{m+1}\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Montar a série de Taylor usando os coeficientes (passo de montagem).
  • Usando a fórmula de Taylor e separando pares e ímpares:
\cos x=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{f^{(2m)}(\pi/3)}{(2m)!}(x-\pi/3)^{2m} +\sum_{m=0}^{\infty}\frac{f^{(2m+1)}(\pi/3)}{(2m+1)!}(x-\pi/3)^{2m+1}.
  • Substituindo os valores encontrados em Passo 4:
\cos x=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{2(2m)!}(x-\pi/3)^{2m} +\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m+1}\sqrt{3}}{2(2m+1)!}(x-\pi/3)^{2m+1}.
  • Podemos fatorar \tfrac{1}{2} e escrever de forma mais compacta (nota didática: isso deixa a estrutura mais clara):
\cos x=\frac{1}{2}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{(2m)!}(x-\pi/3)^{2m} -\frac{\sqrt{3}}{2}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{(2m+1)!}(x-\pi/3)^{2m+1}.

Passo 6

Exemplificar com os primeiros termos (para ver o padrão numa forma concreta).
  • Desenvolvendo os primeiros termos da série:
    • termo m=0 (par): \tfrac{1}{2}.
    • termo m=0 (ímpar): -\tfrac{\sqrt{3}}{2}(x-\pi/3).
    • termo m=1 (par): -\tfrac{1}{4}(x-\pi/3)^{2} porque \tfrac{(-1)^1}{2\cdot 2!}=-\tfrac{1}{4}.
    • termo m=1 (ímpar): +\tfrac{\sqrt{3}}{12}(x-\pi/3)^{3} porque \tfrac{(-1)^{2}\sqrt{3}}{2\cdot 3!}=\tfrac{\sqrt{3}}{12}.
  • Assim, os primeiros termos são
\cos x=\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}(x-\pi/3)-\tfrac{1}{4}(x-\pi/3)^{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{12}(x-\pi/3)^{3}+\cdots.
  • Observação final: como \cos x é função inteira, a série que encontramos converge para \cos x para todo x.

Resposta

\cos x=\frac{1}{2}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{(2m)!}(x-\pi/3)^{2m} -\frac{\sqrt{3}}{2}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{(2m+1)!}(x-\pi/3)^{2m+1}.

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