Encontre a série de Taylor de
em
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos disponível:
- Pede: encontrar a série de Taylor de
centrada em . Ou seja, escrever como uma soma em potências de . - Informação útil (valores trigonométricos que vamos usar):
e . - Lembrete do que precisamos calcular: os coeficientes da série vêm das derivadas de
avaliadas em , pela fórmula de Taylor.
Passo 2
Fórmula de Taylor (aula rápida e didática).
- Para uma função suficientemente suave, a série de Taylor de
centrada em é
- Explicando cada pedaço:
-
é a -ésima derivada de avaliada em . -
é o fatorial de (ex.: ). -
é a potência que aprox. mede o quanto está afastado do ponto de expansão.
-
- No caso de funções elementares como
, a série de Taylor existe e converge para todo (a função é inteira).
Passo 3
Derivadas de
e padrão cíclico (aula prática).
- Calculemos as primeiras derivadas e seus valores em
: -
→ . -
→ . -
→ . -
→ . -
e o ciclo se repete a cada 4 derivadas.
-
- Observação didática: para
as derivadas repetem em ciclo de período 4, portanto é conveniente separar termos pares e ímpares.
Passo 4
Expressar o padrão geral das derivadas (fórmula para coeficientes).
- Para índices pares
: Explicação: cada duas derivadas trocam o sinal de , daí o fator . - Para índices ímpares
: Explicação: a derivada ímpar envolve com sinal alternado; reescrevemos para simplificar depois. - Substituindo
, , :
Passo 5
Montar a série de Taylor usando os coeficientes (passo de montagem).
- Usando a fórmula de Taylor e separando pares e ímpares:
- Substituindo os valores encontrados em Passo 4:
- Podemos fatorar
e escrever de forma mais compacta (nota didática: isso deixa a estrutura mais clara):
Passo 6
Exemplificar com os primeiros termos (para ver o padrão numa forma concreta).
- Desenvolvendo os primeiros termos da série:
- termo
(par): . - termo
(ímpar): . - termo
(par): porque . - termo
(ímpar): porque .
- termo
- Assim, os primeiros termos são
- Observação final: como
é função inteira, a série que encontramos converge para para todo .