Determine se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{0,85}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^{0,85}}
é convergente ou divergente. O conteúdo que vamos usar é o teste da p-série, que trata de séries da forma \sum 1/n^{p}.

Passo 2

Observe que a constante 2 pode ser fatorada fora da soma, pois não depende de n. Então
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^{0,85}} =2\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{0,85}}.
Como 2 é finito e diferente de zero, a convergência da série original é equivalente à de \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{0,85}.

Passo 3

O teste da p-série diz que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Aqui temos p=0,85, que é menor do que 1.

Passo 4

Como p=0,85<1, a p-série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{0,85} diverge. Logo, multiplicar por 2 não muda isso.

Resposta

A série diverge.

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