Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+\left(\frac{2}{3}\right)^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}}.
O conteúdo principal aqui é o teste da divergência, que afirma: se o termo geral a_n não tende a zero, a série necessariamente diverge. Vamos, portanto, calcular \lim_{n\to\infty}a_n.

Passo 2

Calcular o limite do termo geral:
a_n = \frac{1}{1+\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}}
Como \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}\to 0 quando n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+(2/3)^{n}} = \frac{1}{1+0} = 1.

Passo 3

Visto que \lim_{n\to\infty}a_n = 1 \neq 0, a série não satisfaz a condição necessária para convergir. Pelo teste da divergência, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados