Determine se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{n{2}}{e{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{n^{2}}{e^{n}}.
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas, e para isso vamos usar o Teste da Razão, que serve para séries com termos positivos e envolve o limite da razão entre termos consecutivos.

Passo 2

Sejam a_{n} = \frac{n^{2}}{e^{n}}. Pelo Teste da Razão, calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{(n+1)^{2}}{e^{\,n+1}}}{\frac{n^{2}}{e^{n}}} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\cdot\frac{e^{n}}{e^{n+1}}.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\cdot\frac{e^{n}}{e^{n+1}} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2}\cdot\frac{1}{e} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2}\frac{1}{e}.
Como \lim_{n\to\infty}(1 + 1/n)^{2} = 1, temos
L = \frac{1}{e}.

Passo 4

O valor de L satisfaz L = 1/e < 1. Pelo Teste da Razão, se L<1 então a série \sum a_{n} converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}\frac{n^{2}}{e^{n}} é convergente.

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