Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[5]{n}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Integral na série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[5]{n}},
ou seja, queremos analisar
\sum_{n=1}^{\infty}n^{-\frac{1}{5}}
aplicando o teste que compara a soma com a integral imprópria de f(x)=x^{-\frac{1}{5}}.

Passo 2

Verificamos as condições do Teste da Integral para f(x)=x^{-\frac{1}{5}} em [1,\infty):
  1. f(x)>0 para todo x\ge1.
  2. f é contínua em [1,\infty).
  3. f é decrescente em [1,\infty) porque
f'(x)=-\tfrac{1}{5}\,x^{-\frac{6}{5}}<0\quad\text{para }x>0.
Portanto, podemos aplicar o teste.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}x^{-\frac{1}{5}}\,dx.
Primeiro, a integral indefinida:
\int x^{-\frac{1}{5}}\,dx =\frac{x^{-\frac{1}{5}+1}}{-\tfrac{1}{5}+1} =\frac{x^{\frac{4}{5}}}{\frac{4}{5}} =\frac{5}{4}\,x^{\frac{4}{5}}+C.
Agora, o valor em [1,b] e o limite quando b\to\infty:
\int_{1}^{b}x^{-\frac{1}{5}}\,dx =\left[\frac{5}{4}\,x^{\frac{4}{5}}\right]_{1}^{b} =\frac{5}{4}\bigl(b^{\frac{4}{5}}-1\bigr).
Como \displaystyle\lim_{b\to\infty}b^{\frac{4}{5}}=\infty, temos
\int_{1}^{\infty}x^{-\frac{1}{5}}\,dx =\lim_{b\to\infty}\frac{5}{4}\bigl(b^{\frac{4}{5}}-1\bigr) =\infty,
ou seja, a integral diverge.

Passo 4

Pelo Teste da Integral, se \displaystyle\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx diverge, então \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f(n) também diverge.

Resposta

A série diverge.

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