Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[5]{n}}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[5]{n}}
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teste da Integral na série
ou seja, queremos analisar
aplicando o teste que compara a soma com a integral imprópria de
.
Passo 2
Verificamos as condições do Teste da Integral para
em
:
-
para todo . -
é contínua em . -
é decrescente em porque
Portanto, podemos aplicar o teste.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Primeiro, a integral indefinida:
Agora, o valor em
e o limite quando
:
Como
, temos
ou seja, a integral diverge.
Passo 4
Pelo Teste da Integral, se
diverge, então
também diverge.
Resposta
A série diverge.