Determine se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{4}+1}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{4}+1}
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido são séries numéricas e vamos usar o teste de comparação por limite com uma p-série.
Passo 2
Para
grande, o termo genérico
comporta-se como
Sabemos que a p-série
converge porque o expoente
. Então escolhemos a série comparativa
Passo 3
Aplicamos o teste de comparação por limite. Calculamos
Como
, a série
e a série
convergem ou divergem juntas.
Passo 4
Já que
converge, concluímos que
também converge.
Resposta
A série
é convergente.