Determine se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{4}+1}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{4}+1}
é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido são séries numéricas e vamos usar o teste de comparação por limite com uma p-série.

Passo 2

Para n grande, o termo genérico
a_{n}=\frac{n}{n^{4}+1}
comporta-se como
\frac{n}{n^{4}}=\frac{1}{n^{3}}.
Sabemos que a p-série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}
converge porque o expoente p=3>1. Então escolhemos a série comparativa
b_{n}=\frac{1}{n^{3}}.

Passo 3

Aplicamos o teste de comparação por limite. Calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n}{n^{4}+1}}{\frac{1}{n^{3}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{4}}{n^{4}+1} =1.
Como 0<L<\infty, a série \sum a_{n} e a série \sum b_{n} convergem ou divergem juntas.

Passo 4

Já que \sum b_{n}=\sum 1/n^{3} converge, concluímos que \sum a_{n}=\sum n/(n^{4}+1) também converge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{4}+1} é convergente.

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