Calcule a soma da série \sum_{n=1}^{\infty} 1 / n^{5} com precisão de três casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{5}}
com precisão de três casas decimais. Esse é o valor de \zeta(5). Para obter essa aproximação, vamos truncar a série num certo N, calcular a soma parcial
S_{N} = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^{5}}
e usar o teste da integral para estimar o erro (resto) R_{N} = \sum_{n=N+1}^\infty 1/n^5. Queremos garantir R_{N}<0,0005 para acertar a terceira casa decimal ao arredondar.

Passo 2

Pelo teste da integral, para f(x)=1/x^{5} decrescente em [N,\infty), vale
R_{N} = \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{1}{n^{5}} \le \int_{N}^{\infty} \frac{1}{x^{5}}\,dx.
Calculamos a integral:
\int_{N}^{\infty} \frac{1}{x^{5}}\,dx = \Bigl[-\frac{1}{4\,x^{4}}\Bigr]_{N}^{\infty} = \frac{1}{4\,N^{4}}.

Passo 3

Queremos 1/(4\,N^{4}) < 0,0005.
Isto é,
N^{4} > \frac{1}{4 \times 0,0005} = 500 \quad\Longrightarrow\quad N > 500^{1/4}\approx 4{,}73.
Logo basta tomar N=5.

Passo 4

Calculamos a soma parcial até N=5:
S_{5} = 1 + \frac{1}{2^{5}} + \frac{1}{3^{5}} + \frac{1}{4^{5}} + \frac{1}{5^{5}} = 1 + 0,03125 + 0,004115226 + 0,0009765625 + 0,00032 = 1,0366617885.

Passo 5

O erro satisfaz
R_{5} \le \frac{1}{4\cdot5^{4}} = \frac{1}{2500} = 0,0004.
Para fazer um intervalo mais apertado, também usamos
R_{5} \ge \int_{6}^{\infty}\frac{1}{x^{5}}\,dx = \frac{1}{4\cdot6^{4}} \approx 0,0001929.
Assim
1,0366618 + 0,0001929 \;\le\; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{5}} \;\le\; 1,0366618 + 0,0004,
ou seja
1,0368547 \le \zeta(5) \le 1,0370618.

Passo 6

Como \zeta(5) está entre 1,03685 e 1,03706, ao arredondar para três casas decimais obtemos
\zeta(5)\approx 1,037.

Resposta

1,037

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