Determine se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{1 / n}}{n^{2}}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{1 / n}}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. Trata-se de uma série de termos positivos, e vamos usar aqui o teste de comparação com a p-série
que sabemos convergir pois
.
Passo 2
Observamos que, para todo
, vale
Logo, o termo geral da nossa série satisfaz
Como a série
é apenas uma constante
multiplicando a p-série de expoente
, ela converge.
Passo 3
Pelo teste da comparação direta, tendo
e sabendo que
converge, concluímos que
também converge.
Resposta
A série é convergente.