Estime \sum_{n=1}^{\infty}(2 n+1)^{-6} com precisão de cinco casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{6}}
com precisão de cinco casas decimais. Vamos usar a relação com a função zeta de Riemann em argumentos pares, já que
\zeta(6)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{6}}=\frac{\pi^{6}}{945}.

Passo 2

Observe que a soma sobre todos os inteiros ímpares positivos pode ser escrita como
\sum_{\substack{k=1\k\;\text{ímpar}}}^{\infty}\frac{1}{k^{6}} =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{6}} -\sum_{\substack{k=1\k\;\text{par}}}^{\infty}\frac{1}{k^{6}} =\zeta(6)-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(2m)^{6}}.
Mas
\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(2m)^{6}} =\frac{1}{2^{6}}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^{6}} =\frac{1}{64}\,\zeta(6),
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\sum_{\substack{k=1\k\;\text{ímpar}}}^{\infty}\frac{1}{k^{6}} =\zeta(6)\Bigl(1-\tfrac{1}{64}\Bigr) =\frac{63}{64}\,\zeta(6).

Passo 3

A série que queremos é sobre os ímpares começando em 3, isto é, exclui k=1. Então
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{6}} =\sum_{\substack{k=1\k\;\text{ímpar}}}^{\infty}\frac{1}{k^{6}} -\frac{1}{1^{6}} =\frac{63}{64}\,\zeta(6)-1.
Substituindo \zeta(6)=\pi^{6}/945, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{6}} =\frac{63}{64}\,\frac{\pi^{6}}{945}-1.

Passo 4

Agora vamos ao cálculo numérico. Primeiro,
\zeta(6)=\frac{\pi^{6}}{945}\approx1.01734306198445.
Multiplicando por 63/64 e subtraindo 1:
\frac{63}{64}\,\zeta(6)-1 \approx\frac{63}{64}\times1.01734306198445\;-\;1 \approx1.0014473898\;-\;1 \approx0.0014473898.
Para ter cinco casas decimais no valor final, arredondamos a quinta casa:
a sequência de dígitos é 0.0014473898, logo a quinta casa é o 4 seguido de 7, que leva ao arredondamento para 5.

Resposta

0.00145

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