Determine se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^{n}}{n!}
é convergente ou divergente. Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O termo geral da série é a_n = \dfrac{(-1)^{n} n^{n}}{n!}.
  • A série é alternada por causa do fator (-1)^n.
  • A parte de módulo é |a_n| = \dfrac{n^{n}}{n!}.
    A tarefa: concluir convergência absoluta, condicional ou divergência total.

Passo 2

Escolha do método e justificativa: séries com fatorial no denominador costumam ficar fáceis para o teste da razão porque \dfrac{(n+1)!}{n!}=n+1 simplifica muito. Vou aplicar o teste da razão (que decide convergência absoluta quando o limite da razão dos módulos é menor que 1; se for maior que 1 dá divergência). Também é útil lembrar que um requisito necessário para uma série convergir é que a_n\to0 quando n\to\infty; se os termos não tendem a zero a série diverge imediatamente.
Enunciado do teste da razão (versão prática):
sejam a_n os termos de uma série. Se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
existe, então
  • se L<1 a série converge absolutamente;
  • se L>1 a série diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
Vou calcular esse limite para a_n dado.

Passo 3

Cálculo da razão entre termos consecutivos (módulos). Começo com
|a_n|=\frac{n^n}{n!},\qquad |a_{n+1}|=\frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}.
Logo
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{(n+1)^{\,n+1}/(n+1)!}{n^n/n!}.
Agora simplifico passo a passo:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^n} = \frac{(n+1)^{\,n+1}}{n^n}\cdot\frac{n!}{(n+1)!}.
Como (n+1)!=(n+1)\,n!, tem-se \dfrac{n!}{(n+1)!}=\dfrac{1}{n+1}. Assim
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{(n+1)^{\,n+1}}{n^n}\cdot\frac{1}{n+1} = \frac{(n+1)^{\,n}}{n^n}.
Finalmente escrevo essa expressão de forma conveniente:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.

Passo 4

Cálculo do limite da razão. É um limite clássico:
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e,
onde e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2{,}71828\ldots). Uma maneira rápida de ver isso é tomar logaritmo e usar a expansão \ln(1+x)=x+o(x) quando x\to0:
\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right) \sim n\cdot\frac{1}{n}=1,
ou seja o logaritmo tende a 1, então a expressão tende a e^1=e.
Portanto o limite da razão é
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=e.

Passo 5

Interpretação pelo teste da razão: como L=e>1, o teste da razão diz que a série diverge. Intuição adicional e verificação do requisito necessário: se a razão entre módulos tende a e>1, os módulos |a_n| crescem (eventualmente multiplicando por um número maior que 1 a cada passo), logo |a_n|\not\to0 — na verdade tendem ao infinito — e, portanto, os termos a_n não tendem a zero. Como é necessário que a_n\to0 para que uma série convirja, concluímos mais diretamente que a série diverge.

Resposta

Divergente

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