Determine se a série é convergente ou divergente \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^{n}}{n!}
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^{n}}{n!}
é convergente ou divergente. Informações relevantes que o enunciado dá:
O termo geral da série é a_n = \dfrac{(-1)^{n} n^{n}}{n!}.
A série é alternada por causa do fator (-1)^n.
A parte de módulo é |a_n| = \dfrac{n^{n}}{n!}.
A tarefa: concluir convergência absoluta, condicional ou divergência total.
Passo 2
Escolha do método e justificativa: séries com fatorial no denominador costumam ficar fáceis para o teste da razão porque \dfrac{(n+1)!}{n!}=n+1 simplifica muito. Vou aplicar o teste da razão (que decide convergência absoluta quando o limite da razão dos módulos é menor que 1; se for maior que 1 dá divergência). Também é útil lembrar que um requisito necessário para uma série convergir é que a_n\to0 quando n\to\infty; se os termos não tendem a zero a série diverge imediatamente.
Enunciado do teste da razão (versão prática):
sejam a_n os termos de uma série. Se
onde e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2{,}71828\ldots). Uma maneira rápida de ver isso é tomar logaritmo e usar a expansão \ln(1+x)=x+o(x) quando x\to0:
Interpretação pelo teste da razão: como L=e>1, o teste da razão diz que a série diverge. Intuição adicional e verificação do requisito necessário: se a razão entre módulos tende a e>1, os módulos |a_n| crescem (eventualmente multiplicando por um número maior que 1 a cada passo), logo |a_n|\not\to0 — na verdade tendem ao infinito — e, portanto, os termos a_n não tendem a zero. Como é necessário que a_n\to0 para que uma série convirja, concluímos mais diretamente que a série diverge.